Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58813 / 87483
↖ ↑ ↗
← S 51.500195°
W 18.465271°		 ← 190.13 m → S 51.500195°
W 18.462524°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
S 51.501904°
W 18.465271°		 ← 190.12 m →
36 145 m²		 S 51.501904°
W 18.462524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448711395263672 y=0.667446136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448711395263672 × 217)
    floor (0.448711395263672 × 131072)
    floor (58813.5)     		tx = 58813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667446136474609 × 217)
    floor (0.667446136474609 × 131072)
    floor (87483.5)     		ty = 87483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58813 / 87483 ti = "17/58813/87483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58813/87483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58813 ÷ 217
    58813 ÷ 131072     		x = 0.448707580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87483 ÷ 217
    87483 ÷ 131072     		y = 0.667442321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448707580566406 × 2 - 1) × π
    -0.102584838867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32227978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667442321777344 × 2 - 1) × π
    -0.334884643554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.05207113596137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32227978} λ = -0.32227978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05207113596137))-π/2
    2×atan(0.34921373048405)-π/2
    2×0.335974184911958-π/2
    0.671948369823916-1.57079632675     		φ = -0.89884796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32227978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.465271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89884796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.500195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58813 KachelY 87483 -0.32227978 -0.89884796 -18.465271 -51.500195
    Oben rechts KachelX + 1 58814 KachelY 87483 -0.32223184 -0.89884796 -18.462524 -51.500195
    Unten links KachelX 58813 KachelY + 1 87484 -0.32227978 -0.89887780 -18.465271 -51.501904
    Unten rechts KachelX + 1 58814 KachelY + 1 87484 -0.32223184 -0.89887780 -18.462524 -51.501904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89884796--0.89887780) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dl = 190.110639999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89884796--0.89887780) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dr = 190.110639999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32227978--0.32223184) × cos(-0.89884796) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62251197950488 × 6371000     		do = 190.131181999238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32227978--0.32223184) × cos(-0.89887780) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622488626137264 × 6371000     		du = 190.124049279653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89884796)-sin(-0.89887780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62251197950488-0.622488626137264)×R²
    abs(-0.32223184--0.32227978)×2.33533676162745e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33533676162745e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33533676162745e-05×40589641000000     		ar = 36145.2826934389m²