Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58812 / 89068
↖ ↑ ↗
← S 54.130259°
W 18.468017°		 ← 178.93 m → S 54.130259°
W 18.465271°		 →
↑
178.96 m
↓
↑
178.96 m
↓
S 54.131869°
W 18.468017°		 ← 178.92 m →
32 020 m²		 S 54.131869°
W 18.465271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448703765869141 y=0.679538726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448703765869141 × 217)
    floor (0.448703765869141 × 131072)
    floor (58812.5)     		tx = 58812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679538726806641 × 217)
    floor (0.679538726806641 × 131072)
    floor (89068.5)     		ty = 89068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58812 / 89068 ti = "17/58812/89068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58812/89068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58812 ÷ 217
    58812 ÷ 131072     		x = 0.448699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89068 ÷ 217
    89068 ÷ 131072     		y = 0.679534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448699951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32232771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679534912109375 × 2 - 1) × π
    -0.35906982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12805112185916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32232771} λ = -0.32232771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12805112185916))-π/2
    2×atan(0.323663422733679)-π/2
    2×0.313022536102305-π/2
    0.626045072204609-1.57079632675     		φ = -0.94475125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32232771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.468017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94475125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.130259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58812 KachelY 89068 -0.32232771 -0.94475125 -18.468017 -54.130259
    Oben rechts KachelX + 1 58813 KachelY 89068 -0.32227978 -0.94475125 -18.465271 -54.130259
    Unten links KachelX 58812 KachelY + 1 89069 -0.32232771 -0.94477934 -18.468017 -54.131869
    Unten rechts KachelX + 1 58813 KachelY + 1 89069 -0.32227978 -0.94477934 -18.465271 -54.131869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94475125--0.94477934) × R
    2.80899999999251e-05 × 6371000     		dl = 178.961389999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94475125--0.94477934) × R
    2.80899999999251e-05 × 6371000     		dr = 178.961389999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32232771--0.32227978) × cos(-0.94475125) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.585944472006548 × 6371000     		do = 178.9251934391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32232771--0.32227978) × cos(-0.94477934) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.585921709010028 × 6371000     		du = 178.918242484274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94475125)-sin(-0.94477934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585944472006548-0.585921709010028)×R²
    abs(-0.32227978--0.32232771)×2.27629965193765e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27629965193765e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27629965193765e-05×40589641000000     		ar = 32020.0793495607m²