Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58808 / 89272
↖ ↑ ↗
← S 54.457267°
W 18.479004°		 ← 177.55 m → S 54.457267°
W 18.476257°		 →
↑
177.50 m
↓
↑
177.50 m
↓
S 54.458863°
W 18.479004°		 ← 177.54 m →
31 513 m²		 S 54.458863°
W 18.476257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448673248291016 y=0.681095123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448673248291016 × 217)
    floor (0.448673248291016 × 131072)
    floor (58808.5)     		tx = 58808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681095123291016 × 217)
    floor (0.681095123291016 × 131072)
    floor (89272.5)     		ty = 89272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58808 / 89272 ti = "17/58808/89272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58808/89272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58808 ÷ 217
    58808 ÷ 131072     		x = 0.44866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89272 ÷ 217
    89272 ÷ 131072     		y = 0.68109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44866943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32251946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.3621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13783024938165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32251946} λ = -0.32251946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13783024938165))-π/2
    2×atan(0.320513702706258)-π/2
    2×0.310168860797451-π/2
    0.620337721594902-1.57079632675     		φ = -0.95045861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32251946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.479004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95045861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.457267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58808 KachelY 89272 -0.32251946 -0.95045861 -18.479004 -54.457267
    Oben rechts KachelX + 1 58809 KachelY 89272 -0.32247152 -0.95045861 -18.476257 -54.457267
    Unten links KachelX 58808 KachelY + 1 89273 -0.32251946 -0.95048647 -18.479004 -54.458863
    Unten rechts KachelX + 1 58809 KachelY + 1 89273 -0.32247152 -0.95048647 -18.476257 -54.458863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95045861--0.95048647) × R
    2.78599999999907e-05 × 6371000     		dl = 177.496059999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95045861--0.95048647) × R
    2.78599999999907e-05 × 6371000     		dr = 177.496059999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32251946--0.32247152) × cos(-0.95045861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581309987821605 × 6371000     		do = 177.547033199688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32251946--0.32247152) × cos(-0.95048647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581287318410336 × 6371000     		du = 177.540109377976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95045861)-sin(-0.95048647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581309987821605-0.581287318410336)×R²
    abs(-0.32247152--0.32251946)×2.26694112694936e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26694112694936e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26694112694936e-05×40589641000000     		ar = 31513.284383983m²