Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58803 / 88949
↖ ↑ ↗
← S 53.938305°
W 18.492737°		 ← 179.79 m → S 53.938305°
W 18.489990°		 →
↑
179.79 m
↓
↑
179.79 m
↓
S 53.939922°
W 18.492737°		 ← 179.78 m →
32 324 m²		 S 53.939922°
W 18.489990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448635101318359 y=0.678630828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448635101318359 × 217)
    floor (0.448635101318359 × 131072)
    floor (58803.5)     		tx = 58803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678630828857422 × 217)
    floor (0.678630828857422 × 131072)
    floor (88949.5)     		ty = 88949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58803 / 88949 ti = "17/58803/88949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58803/88949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58803 ÷ 217
    58803 ÷ 131072     		x = 0.448631286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88949 ÷ 217
    88949 ÷ 131072     		y = 0.678627014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448631286621094 × 2 - 1) × π
    -0.102737426757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32275915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678627014160156 × 2 - 1) × π
    -0.357254028320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.12234663080437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32275915} λ = -0.32275915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12234663080437))-π/2
    2×atan(0.325515034062417)-π/2
    2×0.314697659232141-π/2
    0.629395318464281-1.57079632675     		φ = -0.94140101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32275915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.492737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94140101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.938305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58803 KachelY 88949 -0.32275915 -0.94140101 -18.492737 -53.938305
    Oben rechts KachelX + 1 58804 KachelY 88949 -0.32271121 -0.94140101 -18.489990 -53.938305
    Unten links KachelX 58803 KachelY + 1 88950 -0.32275915 -0.94142923 -18.492737 -53.939922
    Unten rechts KachelX + 1 58804 KachelY + 1 88950 -0.32271121 -0.94142923 -18.489990 -53.939922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94140101--0.94142923) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dl = 179.789620000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94140101--0.94142923) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dr = 179.789620000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32275915--0.32271121) × cos(-0.94140101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588656049600542 × 6371000     		do = 179.790709554604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32275915--0.32271121) × cos(-0.94142923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588633236780776 × 6371000     		du = 179.783741932246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94140101)-sin(-0.94142923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588656049600542-0.588633236780776)×R²
    abs(-0.32271121--0.32275915)×2.2812819766127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2812819766127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2812819766127e-05×40589641000000     		ar = 32323.8769994602m²