Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58800 / 89454
↖ ↑ ↗
← S 54.746820°
W 18.500977°		 ← 176.29 m → S 54.746820°
W 18.498230°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
S 54.748406°
W 18.500977°		 ← 176.28 m →
31 077 m²		 S 54.748406°
W 18.498230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448612213134766 y=0.682483673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448612213134766 × 217)
    floor (0.448612213134766 × 131072)
    floor (58800.5)     		tx = 58800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682483673095703 × 217)
    floor (0.682483673095703 × 131072)
    floor (89454.5)     		ty = 89454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58800 / 89454 ti = "17/58800/89454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58800/89454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58800 ÷ 217
    58800 ÷ 131072     		x = 0.4486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89454 ÷ 217
    89454 ÷ 131072     		y = 0.682479858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32290296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682479858398438 × 2 - 1) × π
    -0.364959716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1465547651125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32290296} λ = -0.32290296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1465547651125))-π/2
    2×atan(0.317729538766292)-π/2
    2×0.307642027113389-π/2
    0.615284054226778-1.57079632675     		φ = -0.95551227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32290296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.500977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95551227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.746820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58800 KachelY 89454 -0.32290296 -0.95551227 -18.500977 -54.746820
    Oben rechts KachelX + 1 58801 KachelY 89454 -0.32285502 -0.95551227 -18.498230 -54.746820
    Unten links KachelX 58800 KachelY + 1 89455 -0.32290296 -0.95553994 -18.500977 -54.748406
    Unten rechts KachelX + 1 58801 KachelY + 1 89455 -0.32285502 -0.95553994 -18.498230 -54.748406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95551227--0.95553994) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dl = 176.285569999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95551227--0.95553994) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dr = 176.285569999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32290296--0.32285502) × cos(-0.95551227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57719050905287 × 6371000     		do = 176.288838348538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32290296--0.32285502) × cos(-0.95553994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57716791324636 × 6371000     		du = 176.281937007614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95551227)-sin(-0.95553994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57719050905287-0.57716791324636)×R²
    abs(-0.32285502--0.32290296)×2.2595806509651e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2595806509651e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2595806509651e-05×40589641000000     		ar = 31076.570051541m²