Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58797 / 89709
↖ ↑ ↗
← S 55.149058°
W 18.509217°		 ← 174.53 m → S 55.149058°
W 18.506470°		 →
↑
174.50 m
↓
↑
174.50 m
↓
S 55.150627°
W 18.509217°		 ← 174.53 m →
30 456 m²		 S 55.150627°
W 18.506470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448589324951172 y=0.684429168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448589324951172 × 217)
    floor (0.448589324951172 × 131072)
    floor (58797.5)     		tx = 58797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684429168701172 × 217)
    floor (0.684429168701172 × 131072)
    floor (89709.5)     		ty = 89709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58797 / 89709 ti = "17/58797/89709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58797/89709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58797 ÷ 217
    58797 ÷ 131072     		x = 0.448585510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89709 ÷ 217
    89709 ÷ 131072     		y = 0.684425354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448585510253906 × 2 - 1) × π
    -0.102828979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32304677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684425354003906 × 2 - 1) × π
    -0.368850708007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.15877867451562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32304677} λ = -0.32304677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15877867451562))-π/2
    2×atan(0.313869283443158)-π/2
    2×0.30413184269119-π/2
    0.608263685382379-1.57079632675     		φ = -0.96253264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32304677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.509217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96253264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.149058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58797 KachelY 89709 -0.32304677 -0.96253264 -18.509217 -55.149058
    Oben rechts KachelX + 1 58798 KachelY 89709 -0.32299883 -0.96253264 -18.506470 -55.149058
    Unten links KachelX 58797 KachelY + 1 89710 -0.32304677 -0.96256003 -18.509217 -55.150627
    Unten rechts KachelX + 1 58798 KachelY + 1 89710 -0.32299883 -0.96256003 -18.506470 -55.150627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96253264--0.96256003) × R
    2.73899999999605e-05 × 6371000     		dl = 174.501689999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96253264--0.96256003) × R
    2.73899999999605e-05 × 6371000     		dr = 174.501689999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32304677--0.32299883) × cos(-0.96253264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571443431603169 × 6371000     		do = 174.533532965423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32304677--0.32299883) × cos(-0.96256003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571420954019254 × 6371000     		du = 174.526667732722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96253264)-sin(-0.96256003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571443431603169-0.571420954019254)×R²
    abs(-0.32299883--0.32304677)×2.24775839151592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24775839151592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24775839151592e-05×40589641000000     		ar = 30455.7974686558m²