Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58797 / 87117
↖ ↑ ↗
← S 50.870112°
W 18.509217°		 ← 192.75 m → S 50.870112°
W 18.506470°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 50.871845°
W 18.509217°		 ← 192.74 m →
37 146 m²		 S 50.871845°
W 18.506470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448589324951172 y=0.664653778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448589324951172 × 217)
    floor (0.448589324951172 × 131072)
    floor (58797.5)     		tx = 58797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664653778076172 × 217)
    floor (0.664653778076172 × 131072)
    floor (87117.5)     		ty = 87117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58797 / 87117 ti = "17/58797/87117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58797/87117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58797 ÷ 217
    58797 ÷ 131072     		x = 0.448585510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87117 ÷ 217
    87117 ÷ 131072     		y = 0.664649963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448585510253906 × 2 - 1) × π
    -0.102828979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32304677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664649963378906 × 2 - 1) × π
    -0.329299926757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03452623070043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32304677} λ = -0.32304677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03452623070043))-π/2
    2×atan(0.355394716151513)-π/2
    2×0.341472695239081-π/2
    0.682945390478161-1.57079632675     		φ = -0.88785094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32304677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.509217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88785094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.870112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58797 KachelY 87117 -0.32304677 -0.88785094 -18.509217 -50.870112
    Oben rechts KachelX + 1 58798 KachelY 87117 -0.32299883 -0.88785094 -18.506470 -50.870112
    Unten links KachelX 58797 KachelY + 1 87118 -0.32304677 -0.88788119 -18.509217 -50.871845
    Unten rechts KachelX + 1 58798 KachelY + 1 87118 -0.32299883 -0.88788119 -18.506470 -50.871845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88785094--0.88788119) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88785094--0.88788119) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32304677--0.32299883) × cos(-0.88785094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631080545641763 × 6371000     		do = 192.748242652113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32304677--0.32299883) × cos(-0.88788119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631057079904402 × 6371000     		du = 192.741075611915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88785094)-sin(-0.88788119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631080545641763-0.631057079904402)×R²
    abs(-0.32299883--0.32304677)×2.34657373605618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34657373605618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34657373605618e-05×40589641000000     		ar = 37146.2807587534m²