Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58796 / 89459
↖ ↑ ↗
← S 54.754746°
W 18.511963°		 ← 176.22 m → S 54.754746°
W 18.509217°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
S 54.756331°
W 18.511963°		 ← 176.21 m →
31 064 m²		 S 54.756331°
W 18.509217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448581695556641 y=0.682521820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448581695556641 × 217)
    floor (0.448581695556641 × 131072)
    floor (58796.5)     		tx = 58796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682521820068359 × 217)
    floor (0.682521820068359 × 131072)
    floor (89459.5)     		ty = 89459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58796 / 89459 ti = "17/58796/89459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58796/89459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58796 ÷ 217
    58796 ÷ 131072     		x = 0.448577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89459 ÷ 217
    89459 ÷ 131072     		y = 0.682518005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.10284423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32309470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682518005371094 × 2 - 1) × π
    -0.365036010742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.1467944496106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32309470} λ = -0.32309470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1467944496106))-π/2
    2×atan(0.3176533930471)-π/2
    2×0.307572862074136-π/2
    0.615145724148273-1.57079632675     		φ = -0.95565060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32309470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.511963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95565060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.754746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58796 KachelY 89459 -0.32309470 -0.95565060 -18.511963 -54.754746
    Oben rechts KachelX + 1 58797 KachelY 89459 -0.32304677 -0.95565060 -18.509217 -54.754746
    Unten links KachelX 58796 KachelY + 1 89460 -0.32309470 -0.95567827 -18.511963 -54.756331
    Unten rechts KachelX + 1 58797 KachelY + 1 89460 -0.32304677 -0.95567827 -18.509217 -54.756331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95565060--0.95567827) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dl = 176.285570000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95565060--0.95567827) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dr = 176.285570000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32309470--0.32304677) × cos(-0.95565060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577077541935317 × 6371000     		do = 176.217569672886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32309470--0.32304677) × cos(-0.95567827) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577054943919818 × 6371000     		du = 176.210669097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95565060)-sin(-0.95567827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577077541935317-0.577054943919818)×R²
    abs(-0.32304677--0.32309470)×2.25980154995309e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25980154995309e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25980154995309e-05×40589641000000     		ar = 31064.0064798601m²