Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58795 / 89458
↖ ↑ ↗
← S 54.753161°
W 18.514709°		 ← 176.26 m → S 54.753161°
W 18.511963°		 →
↑
176.22 m
↓
↑
176.22 m
↓
S 54.754746°
W 18.514709°		 ← 176.25 m →
31 060 m²		 S 54.754746°
W 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448574066162109 y=0.682514190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448574066162109 × 217)
    floor (0.448574066162109 × 131072)
    floor (58795.5)     		tx = 58795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682514190673828 × 217)
    floor (0.682514190673828 × 131072)
    floor (89458.5)     		ty = 89458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58795 / 89458 ti = "17/58795/89458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58795/89458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58795 ÷ 217
    58795 ÷ 131072     		x = 0.448570251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89458 ÷ 217
    89458 ÷ 131072     		y = 0.682510375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448570251464844 × 2 - 1) × π
    -0.102859497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32314264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682510375976562 × 2 - 1) × π
    -0.365020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14674651271098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32314264} λ = -0.32314264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14674651271098))-π/2
    2×atan(0.317668620730898)-π/2
    2×0.307586693998938-π/2
    0.615173387997876-1.57079632675     		φ = -0.95562294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32314264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.514709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95562294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.753161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58795 KachelY 89458 -0.32314264 -0.95562294 -18.514709 -54.753161
    Oben rechts KachelX + 1 58796 KachelY 89458 -0.32309470 -0.95562294 -18.511963 -54.753161
    Unten links KachelX 58795 KachelY + 1 89459 -0.32314264 -0.95565060 -18.514709 -54.754746
    Unten rechts KachelX + 1 58796 KachelY + 1 89459 -0.32309470 -0.95565060 -18.511963 -54.754746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95562294--0.95565060) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dl = 176.221859999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95562294--0.95565060) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dr = 176.221859999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32314264--0.32309470) × cos(-0.95562294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577100131342256 × 6371000     		do = 176.26123466919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32314264--0.32309470) × cos(-0.95565060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577077541935317 × 6371000     		du = 176.25433528286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95562294)-sin(-0.95565060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577100131342256-0.577077541935317)×R²
    abs(-0.32309470--0.32314264)×2.25894069383337e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25894069383337e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25894069383337e-05×40589641000000     		ar = 31060.4747099377m²