Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58790 / 87463
↖ ↑ ↗
← S 51.465986°
W 18.528442°		 ← 190.23 m → S 51.465986°
W 18.525696°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
S 51.467697°
W 18.528442°		 ← 190.23 m →
36 189 m²		 S 51.467697°
W 18.525696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448535919189453 y=0.667293548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448535919189453 × 217)
    floor (0.448535919189453 × 131072)
    floor (58790.5)     		tx = 58790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667293548583984 × 217)
    floor (0.667293548583984 × 131072)
    floor (87463.5)     		ty = 87463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58790 / 87463 ti = "17/58790/87463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58790/87463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58790 ÷ 217
    58790 ÷ 131072     		x = 0.448532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87463 ÷ 217
    87463 ÷ 131072     		y = 0.667289733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448532104492188 × 2 - 1) × π
    -0.102935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32338232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667289733886719 × 2 - 1) × π
    -0.334579467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.05111239796897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32338232} λ = -0.32338232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05111239796897))-π/2
    2×atan(0.349548695501119)-π/2
    2×0.336272709818436-π/2
    0.672545419636873-1.57079632675     		φ = -0.89825091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32338232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.528442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89825091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.465986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58790 KachelY 87463 -0.32338232 -0.89825091 -18.528442 -51.465986
    Oben rechts KachelX + 1 58791 KachelY 87463 -0.32333439 -0.89825091 -18.525696 -51.465986
    Unten links KachelX 58790 KachelY + 1 87464 -0.32338232 -0.89828077 -18.528442 -51.467697
    Unten rechts KachelX + 1 58791 KachelY + 1 87464 -0.32333439 -0.89828077 -18.525696 -51.467697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89825091--0.89828077) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dl = 190.2380599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89825091--0.89828077) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dr = 190.2380599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(-0.89825091) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62297912598606 × 6371000     		do = 190.234170558625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(-0.89828077) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.622955768067913 × 6371000     		du = 190.227037937323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89825091)-sin(-0.89828077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62297912598606-0.622955768067913)×R²
    abs(-0.32333439--0.32338232)×2.33579181476706e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33579181476706e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33579181476706e-05×40589641000000     		ar = 36189.1011073027m²