Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58785 / 89466
↖ ↑ ↗
← S 54.765840°
W 18.542175°		 ← 176.21 m → S 54.765840°
W 18.539429°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
S 54.767424°
W 18.542175°		 ← 176.20 m →
31 040 m²		 S 54.767424°
W 18.539429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448497772216797 y=0.682575225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448497772216797 × 217)
    floor (0.448497772216797 × 131072)
    floor (58785.5)     		tx = 58785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682575225830078 × 217)
    floor (0.682575225830078 × 131072)
    floor (89466.5)     		ty = 89466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58785 / 89466 ti = "17/58785/89466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58785/89466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58785 ÷ 217
    58785 ÷ 131072     		x = 0.448493957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89466 ÷ 217
    89466 ÷ 131072     		y = 0.682571411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448493957519531 × 2 - 1) × π
    -0.103012084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32362201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682571411132812 × 2 - 1) × π
    -0.365142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14713000790794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32362201} λ = -0.32362201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14713000790794))-π/2
    2×atan(0.317546819697171)-π/2
    2×0.307476053762016-π/2
    0.614952107524031-1.57079632675     		φ = -0.95584422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32362201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.542175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95584422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.765840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58785 KachelY 89466 -0.32362201 -0.95584422 -18.542175 -54.765840
    Oben rechts KachelX + 1 58786 KachelY 89466 -0.32357407 -0.95584422 -18.539429 -54.765840
    Unten links KachelX 58785 KachelY + 1 89467 -0.32362201 -0.95587187 -18.542175 -54.767424
    Unten rechts KachelX + 1 58786 KachelY + 1 89467 -0.32357407 -0.95587187 -18.539429 -54.767424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95584422--0.95587187) × R
    2.76499999999347e-05 × 6371000     		dl = 176.158149999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95584422--0.95587187) × R
    2.76499999999347e-05 × 6371000     		dr = 176.158149999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32362201--0.32357407) × cos(-0.95584422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.576919403725494 × 6371000     		do = 176.206035803306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32362201--0.32357407) × cos(-0.95587187) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.576896818955147 × 6371000     		du = 176.19913783311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95584422)-sin(-0.95587187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576919403725494-0.576896818955147)×R²
    abs(-0.32357407--0.32362201)×2.25847703475557e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25847703475557e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25847703475557e-05×40589641000000     		ar = 31039.5217210892m²