Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58783 / 89727
↖ ↑ ↗
← S 55.177299°
W 18.547668°		 ← 174.37 m → S 55.177299°
W 18.544922°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
S 55.178868°
W 18.547668°		 ← 174.37 m →
30 417 m²		 S 55.178868°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448482513427734 y=0.684566497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448482513427734 × 217)
    floor (0.448482513427734 × 131072)
    floor (58783.5)     		tx = 58783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684566497802734 × 217)
    floor (0.684566497802734 × 131072)
    floor (89727.5)     		ty = 89727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58783 / 89727 ti = "17/58783/89727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58783/89727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58783 ÷ 217
    58783 ÷ 131072     		x = 0.448478698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89727 ÷ 217
    89727 ÷ 131072     		y = 0.684562683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448478698730469 × 2 - 1) × π
    -0.103042602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32371788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684562683105469 × 2 - 1) × π
    -0.369125366210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.15964153870878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32371788} λ = -0.32371788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15964153870878))-π/2
    2×atan(0.313598573686816)-π/2
    2×0.303885390930707-π/2
    0.607770781861414-1.57079632675     		φ = -0.96302554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32371788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.547668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96302554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.177299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58783 KachelY 89727 -0.32371788 -0.96302554 -18.547668 -55.177299
    Oben rechts KachelX + 1 58784 KachelY 89727 -0.32366995 -0.96302554 -18.544922 -55.177299
    Unten links KachelX 58783 KachelY + 1 89728 -0.32371788 -0.96305292 -18.547668 -55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 58784 KachelY + 1 89728 -0.32366995 -0.96305292 -18.544922 -55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96302554--0.96305292) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dl = 174.437980000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96302554--0.96305292) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dr = 174.437980000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32371788--0.32366995) × cos(-0.96302554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.571038868028126 × 6371000     		do = 174.373587950077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32371788--0.32366995) × cos(-0.96305292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 174.366724301335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96302554)-sin(-0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571038868028126-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.32366995--0.32371788)×2.24770864358792e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24770864358792e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24770864358792e-05×40589641000000     		ar = 30416.7778089028m²