Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58783 / 87197
↖ ↑ ↗
← S 51.008570°
W 18.547668°		 ← 192.14 m → S 51.008570°
W 18.544922°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
S 51.010298°
W 18.547668°		 ← 192.13 m →
36 918 m²		 S 51.010298°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448482513427734 y=0.665264129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448482513427734 × 217)
    floor (0.448482513427734 × 131072)
    floor (58783.5)     		tx = 58783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665264129638672 × 217)
    floor (0.665264129638672 × 131072)
    floor (87197.5)     		ty = 87197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58783 / 87197 ti = "17/58783/87197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58783/87197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58783 ÷ 217
    58783 ÷ 131072     		x = 0.448478698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87197 ÷ 217
    87197 ÷ 131072     		y = 0.665260314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448478698730469 × 2 - 1) × π
    -0.103042602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32371788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665260314941406 × 2 - 1) × π
    -0.330520629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03836118267004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32371788} λ = -0.32371788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03836118267004))-π/2
    2×atan(0.354034404516871)-π/2
    2×0.340264412735305-π/2
    0.680528825470611-1.57079632675     		φ = -0.89026750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32371788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.547668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89026750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.008570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58783 KachelY 87197 -0.32371788 -0.89026750 -18.547668 -51.008570
    Oben rechts KachelX + 1 58784 KachelY 87197 -0.32366995 -0.89026750 -18.544922 -51.008570
    Unten links KachelX 58783 KachelY + 1 87198 -0.32371788 -0.89029766 -18.547668 -51.010298
    Unten rechts KachelX + 1 58784 KachelY + 1 87198 -0.32366995 -0.89029766 -18.544922 -51.010298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89026750--0.89029766) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89026750--0.89029766) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32371788--0.32366995) × cos(-0.89026750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629204137364531 × 6371000     		do = 192.135052670149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32371788--0.32366995) × cos(-0.89029766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629180695517327 × 6371000     		du = 192.1278944201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89026750)-sin(-0.89029766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629204137364531-0.629180695517327)×R²
    abs(-0.32366995--0.32371788)×2.344184720382e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.344184720382e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.344184720382e-05×40589641000000     		ar = 36917.9396803659m²