Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58773 / 89495
↖ ↑ ↗
← S 54.811766°
W 18.575134°		 ← 175.97 m → S 54.811766°
W 18.572388°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
S 54.813348°
W 18.575134°		 ← 175.96 m →
30 964 m²		 S 54.813348°
W 18.572388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448406219482422 y=0.682796478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448406219482422 × 217)
    floor (0.448406219482422 × 131072)
    floor (58773.5)     		tx = 58773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682796478271484 × 217)
    floor (0.682796478271484 × 131072)
    floor (89495.5)     		ty = 89495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58773 / 89495 ti = "17/58773/89495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58773/89495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58773 ÷ 217
    58773 ÷ 131072     		x = 0.448402404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89495 ÷ 217
    89495 ÷ 131072     		y = 0.682792663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448402404785156 × 2 - 1) × π
    -0.103195190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32419725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682792663574219 × 2 - 1) × π
    -0.365585327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.14852017799693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32419725} λ = -0.32419725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14852017799693))-π/2
    2×atan(0.317105682305624)-π/2
    2×0.307075273339778-π/2
    0.614150546679556-1.57079632675     		φ = -0.95664578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32419725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.575134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95664578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.811766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58773 KachelY 89495 -0.32419725 -0.95664578 -18.575134 -54.811766
    Oben rechts KachelX + 1 58774 KachelY 89495 -0.32414932 -0.95664578 -18.572388 -54.811766
    Unten links KachelX 58773 KachelY + 1 89496 -0.32419725 -0.95667340 -18.575134 -54.813348
    Unten rechts KachelX + 1 58774 KachelY + 1 89496 -0.32414932 -0.95667340 -18.572388 -54.813348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95664578--0.95667340) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95664578--0.95667340) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32419725--0.32414932) × cos(-0.95664578) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.576264503388339 × 6371000     		do = 175.969298571509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32419725--0.32414932) × cos(-0.95667340) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.576241930357531 × 6371000     		du = 175.962405624998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95664578)-sin(-0.95667340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576264503388339-0.576241930357531)×R²
    abs(-0.32414932--0.32419725)×2.25730308074379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25730308074379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25730308074379e-05×40589641000000     		ar = 30964.186617355m²