Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58773 / 89453
↖ ↑ ↗
← S 54.745235°
W 18.575134°		 ← 176.26 m → S 54.745235°
W 18.572388°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
S 54.746820°
W 18.575134°		 ← 176.25 m →
31 071 m²		 S 54.746820°
W 18.572388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448406219482422 y=0.682476043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448406219482422 × 217)
    floor (0.448406219482422 × 131072)
    floor (58773.5)     		tx = 58773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682476043701172 × 217)
    floor (0.682476043701172 × 131072)
    floor (89453.5)     		ty = 89453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58773 / 89453 ti = "17/58773/89453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58773/89453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58773 ÷ 217
    58773 ÷ 131072     		x = 0.448402404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89453 ÷ 217
    89453 ÷ 131072     		y = 0.682472229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448402404785156 × 2 - 1) × π
    -0.103195190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32419725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682472229003906 × 2 - 1) × π
    -0.364944458007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.14650682821288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32419725} λ = -0.32419725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14650682821288))-π/2
    2×atan(0.317744770100367)-π/2
    2×0.307655861745866-π/2
    0.615311723491732-1.57079632675     		φ = -0.95548460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32419725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.575134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95548460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.745235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58773 KachelY 89453 -0.32419725 -0.95548460 -18.575134 -54.745235
    Oben rechts KachelX + 1 58774 KachelY 89453 -0.32414932 -0.95548460 -18.572388 -54.745235
    Unten links KachelX 58773 KachelY + 1 89454 -0.32419725 -0.95551227 -18.575134 -54.746820
    Unten rechts KachelX + 1 58774 KachelY + 1 89454 -0.32414932 -0.95551227 -18.572388 -54.746820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95548460--0.95551227) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dl = 176.285570000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95548460--0.95551227) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dr = 176.285570000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32419725--0.32414932) × cos(-0.95548460) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.577213104417466 × 6371000     		do = 176.258965307423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32419725--0.32414932) × cos(-0.95551227) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.57719050905287 × 6371000     		du = 176.252065541021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95548460)-sin(-0.95551227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577213104417466-0.57719050905287)×R²
    abs(-0.32414932--0.32419725)×2.25953645959232e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25953645959232e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25953645959232e-05×40589641000000     		ar = 31071.3040040727m²