Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58771 / 89711
↖ ↑ ↗
← S 55.152197°
W 18.580628°		 ← 174.52 m → S 55.152197°
W 18.577881°		 →
↑
174.50 m
↓
↑
174.50 m
↓
S 55.153766°
W 18.580628°		 ← 174.51 m →
30 453 m²		 S 55.153766°
W 18.577881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448390960693359 y=0.684444427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448390960693359 × 217)
    floor (0.448390960693359 × 131072)
    floor (58771.5)     		tx = 58771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684444427490234 × 217)
    floor (0.684444427490234 × 131072)
    floor (89711.5)     		ty = 89711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58771 / 89711 ti = "17/58771/89711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58771/89711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58771 ÷ 217
    58771 ÷ 131072     		x = 0.448387145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89711 ÷ 217
    89711 ÷ 131072     		y = 0.684440612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448387145996094 × 2 - 1) × π
    -0.103225708007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32429313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684440612792969 × 2 - 1) × π
    -0.368881225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.15887454831486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32429313} λ = -0.32429313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15887454831486))-π/2
    2×atan(0.313839193044953)-π/2
    2×0.304104450542434-π/2
    0.608208901084868-1.57079632675     		φ = -0.96258743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32429313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.580628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96258743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.152197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58771 KachelY 89711 -0.32429313 -0.96258743 -18.580628 -55.152197
    Oben rechts KachelX + 1 58772 KachelY 89711 -0.32424519 -0.96258743 -18.577881 -55.152197
    Unten links KachelX 58771 KachelY + 1 89712 -0.32429313 -0.96261482 -18.580628 -55.153766
    Unten rechts KachelX + 1 58772 KachelY + 1 89712 -0.32424519 -0.96261482 -18.577881 -55.153766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96258743--0.96261482) × R
    2.73899999999605e-05 × 6371000     		dl = 174.501689999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96258743--0.96261482) × R
    2.73899999999605e-05 × 6371000     		dr = 174.501689999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32429313--0.32424519) × cos(-0.96258743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571398467799924 × 6371000     		do = 174.519799862544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32429313--0.32424519) × cos(-0.96261482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571375989358495 × 6371000     		du = 174.512934367936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96258743)-sin(-0.96261482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571398467799924-0.571375989358495)×R²
    abs(-0.32424519--0.32429313)×2.24784414286638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24784414286638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24784414286638e-05×40589641000000     		ar = 30453.4009959742m²