Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58769 / 89479
↖ ↑ ↗
← S 54.786434°
W 18.586121°		 ← 176.12 m → S 54.786434°
W 18.583374°		 →
↑
176.09 m
↓
↑
176.09 m
↓
S 54.788017°
W 18.586121°		 ← 176.11 m →
31 013 m²		 S 54.788017°
W 18.583374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448375701904297 y=0.682674407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448375701904297 × 217)
    floor (0.448375701904297 × 131072)
    floor (58769.5)     		tx = 58769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682674407958984 × 217)
    floor (0.682674407958984 × 131072)
    floor (89479.5)     		ty = 89479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58769 / 89479 ti = "17/58769/89479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58769/89479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58769 ÷ 217
    58769 ÷ 131072     		x = 0.448371887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89479 ÷ 217
    89479 ÷ 131072     		y = 0.682670593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448371887207031 × 2 - 1) × π
    -0.103256225585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32438900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682670593261719 × 2 - 1) × π
    -0.365341186523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.147753187603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32438900} λ = -0.32438900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.147753187603))-π/2
    2×atan(0.317348992614217)-π/2
    2×0.307296337279626-π/2
    0.614592674559253-1.57079632675     		φ = -0.95620365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32438900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.586121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95620365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.786434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58769 KachelY 89479 -0.32438900 -0.95620365 -18.586121 -54.786434
    Oben rechts KachelX + 1 58770 KachelY 89479 -0.32434106 -0.95620365 -18.583374 -54.786434
    Unten links KachelX 58769 KachelY + 1 89480 -0.32438900 -0.95623129 -18.586121 -54.788017
    Unten rechts KachelX + 1 58770 KachelY + 1 89480 -0.32434106 -0.95623129 -18.583374 -54.788017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95620365--0.95623129) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dl = 176.094439999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95620365--0.95623129) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dr = 176.094439999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32438900--0.32434106) × cos(-0.95620365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576625783654135 × 6371000     		do = 176.116356675529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32438900--0.32434106) × cos(-0.95623129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576603201322039 × 6371000     		du = 176.109459450037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95620365)-sin(-0.95623129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576625783654135-0.576603201322039)×R²
    abs(-0.32434106--0.32438900)×2.25823320962881e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25823320962881e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25823320962881e-05×40589641000000     		ar = 31012.5039239021m²