Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58767 / 87054
↖ ↑ ↗
← S 50.760784°
W 18.591614°		 ← 193.16 m → S 50.760784°
W 18.588867°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
S 50.762522°
W 18.591614°		 ← 193.15 m →
37 324 m²		 S 50.762522°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448360443115234 y=0.664173126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448360443115234 × 217)
    floor (0.448360443115234 × 131072)
    floor (58767.5)     		tx = 58767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664173126220703 × 217)
    floor (0.664173126220703 × 131072)
    floor (87054.5)     		ty = 87054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58767 / 87054 ti = "17/58767/87054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58767/87054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58767 ÷ 217
    58767 ÷ 131072     		x = 0.448356628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87054 ÷ 217
    87054 ÷ 131072     		y = 0.664169311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448356628417969 × 2 - 1) × π
    -0.103286743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32448487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664169311523438 × 2 - 1) × π
    -0.328338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03150620602437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32448487} λ = -0.32448487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03150620602437))-π/2
    2×atan(0.35646963929425)-π/2
    2×0.342426751165801-π/2
    0.684853502331602-1.57079632675     		φ = -0.88594282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32448487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.591614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88594282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.760784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58767 KachelY 87054 -0.32448487 -0.88594282 -18.591614 -50.760784
    Oben rechts KachelX + 1 58768 KachelY 87054 -0.32443694 -0.88594282 -18.588867 -50.760784
    Unten links KachelX 58767 KachelY + 1 87055 -0.32448487 -0.88597315 -18.591614 -50.762522
    Unten rechts KachelX + 1 58768 KachelY + 1 87055 -0.32443694 -0.88597315 -18.588867 -50.762522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88594282--0.88597315) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88594282--0.88597315) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32448487--0.32443694) × cos(-0.88594282) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632559557599827 × 6371000     		do = 193.15967060448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32448487--0.32443694) × cos(-0.88597315) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632536066368382 × 6371000     		du = 193.152497274358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88594282)-sin(-0.88597315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632559557599827-0.632536066368382)×R²
    abs(-0.32443694--0.32448487)×2.3491231445294e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3491231445294e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3491231445294e-05×40589641000000     		ar = 37324.0194716267m²