Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58763 / 88299
↖ ↑ ↗
← S 52.874103°
W 18.602600°		 ← 184.35 m → S 52.874103°
W 18.599853°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
S 52.875761°
W 18.602600°		 ← 184.34 m →
33 977 m²		 S 52.875761°
W 18.599853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448329925537109 y=0.673671722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448329925537109 × 217)
    floor (0.448329925537109 × 131072)
    floor (58763.5)     		tx = 58763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673671722412109 × 217)
    floor (0.673671722412109 × 131072)
    floor (88299.5)     		ty = 88299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58763 / 88299 ti = "17/58763/88299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58763/88299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58763 ÷ 217
    58763 ÷ 131072     		x = 0.448326110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88299 ÷ 217
    88299 ÷ 131072     		y = 0.673667907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448326110839844 × 2 - 1) × π
    -0.103347778320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32467662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673667907714844 × 2 - 1) × π
    -0.347335815429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.09118764605134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32467662} λ = -0.32467662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09118764605134))-π/2
    2×atan(0.335817424538956)-π/2
    2×0.323984567914408-π/2
    0.647969135828817-1.57079632675     		φ = -0.92282719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32467662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.602600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92282719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.874103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58763 KachelY 88299 -0.32467662 -0.92282719 -18.602600 -52.874103
    Oben rechts KachelX + 1 58764 KachelY 88299 -0.32462868 -0.92282719 -18.599853 -52.874103
    Unten links KachelX 58763 KachelY + 1 88300 -0.32467662 -0.92285612 -18.602600 -52.875761
    Unten rechts KachelX + 1 58764 KachelY + 1 88300 -0.32462868 -0.92285612 -18.599853 -52.875761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92282719--0.92285612) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dl = 184.313029999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92282719--0.92285612) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dr = 184.313029999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32467662--0.32462868) × cos(-0.92282719) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603568421536136 × 6371000     		do = 184.345331788399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32467662--0.32462868) × cos(-0.92285612) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603545355070349 × 6371000     		du = 184.338286696017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92282719)-sin(-0.92285612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603568421536136-0.603545355070349)×R²
    abs(-0.32462868--0.32467662)×2.30664657868695e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30664657868695e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30664657868695e-05×40589641000000     		ar = 33976.5974194405m²