Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58762 / 89476
↖ ↑ ↗
← S 54.781682°
W 18.605347°		 ← 176.14 m → S 54.781682°
W 18.602600°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
S 54.783266°
W 18.605347°		 ← 176.13 m →
31 027 m²		 S 54.783266°
W 18.602600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448322296142578 y=0.682651519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448322296142578 × 217)
    floor (0.448322296142578 × 131072)
    floor (58762.5)     		tx = 58762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682651519775391 × 217)
    floor (0.682651519775391 × 131072)
    floor (89476.5)     		ty = 89476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58762 / 89476 ti = "17/58762/89476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58762/89476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58762 ÷ 217
    58762 ÷ 131072     		x = 0.448318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89476 ÷ 217
    89476 ÷ 131072     		y = 0.682647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448318481445312 × 2 - 1) × π
    -0.103363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32472456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.36529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14760937690414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32472456} λ = -0.32472456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14760937690414))-π/2
    2×atan(0.317394634076414)-π/2
    2×0.307337802193815-π/2
    0.614675604387629-1.57079632675     		φ = -0.95612072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32472456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.605347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95612072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.781682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58762 KachelY 89476 -0.32472456 -0.95612072 -18.605347 -54.781682
    Oben rechts KachelX + 1 58763 KachelY 89476 -0.32467662 -0.95612072 -18.602600 -54.781682
    Unten links KachelX 58762 KachelY + 1 89477 -0.32472456 -0.95614837 -18.605347 -54.783266
    Unten rechts KachelX + 1 58763 KachelY + 1 89477 -0.32467662 -0.95614837 -18.602600 -54.783266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95612072--0.95614837) × R
    2.76499999999347e-05 × 6371000     		dl = 176.158149999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95612072--0.95614837) × R
    2.76499999999347e-05 × 6371000     		dr = 176.158149999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32472456--0.32467662) × cos(-0.95612072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576693536176813 × 6371000     		do = 176.137050039904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32472456--0.32467662) × cos(-0.95614837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576670946996737 × 6371000     		du = 176.130150722864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95612072)-sin(-0.95614837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576693536176813-0.576670946996737)×R²
    abs(-0.32467662--0.32472456)×2.2589180076471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2589180076471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2589180076471e-05×40589641000000     		ar = 31027.369197931m²