Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58762 / 88300
↖ ↑ ↗
← S 52.875761°
W 18.605347°		 ← 184.34 m → S 52.875761°
W 18.602600°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
S 52.877419°
W 18.605347°		 ← 184.33 m →
33 987 m²		 S 52.877419°
W 18.602600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448322296142578 y=0.673679351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448322296142578 × 217)
    floor (0.448322296142578 × 131072)
    floor (58762.5)     		tx = 58762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673679351806641 × 217)
    floor (0.673679351806641 × 131072)
    floor (88300.5)     		ty = 88300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58762 / 88300 ti = "17/58762/88300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58762/88300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58762 ÷ 217
    58762 ÷ 131072     		x = 0.448318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88300 ÷ 217
    88300 ÷ 131072     		y = 0.673675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448318481445312 × 2 - 1) × π
    -0.103363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32472456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.34735107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09123558295096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32472456} λ = -0.32472456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09123558295096))-π/2
    2×atan(0.335801326878624)-π/2
    2×0.323970101591468-π/2
    0.647940203182936-1.57079632675     		φ = -0.92285612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32472456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.605347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92285612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.875761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58762 KachelY 88300 -0.32472456 -0.92285612 -18.605347 -52.875761
    Oben rechts KachelX + 1 58763 KachelY 88300 -0.32467662 -0.92285612 -18.602600 -52.875761
    Unten links KachelX 58762 KachelY + 1 88301 -0.32472456 -0.92288506 -18.605347 -52.877419
    Unten rechts KachelX + 1 58763 KachelY + 1 88301 -0.32467662 -0.92288506 -18.602600 -52.877419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92285612--0.92288506) × R
    2.89400000000883e-05 × 6371000     		dl = 184.376740000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92285612--0.92288506) × R
    2.89400000000883e-05 × 6371000     		dr = 184.376740000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32472456--0.32467662) × cos(-0.92285612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603545355070349 × 6371000     		do = 184.338286695803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32472456--0.32467662) × cos(-0.92288506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603522280125966 × 6371000     		du = 184.33123901384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92285612)-sin(-0.92288506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603545355070349-0.603522280125966)×R²
    abs(-0.32467662--0.32472456)×2.30749443824729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30749443824729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30749443824729e-05×40589641000000     		ar = 33987.0426461723m²