Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58761 / 89491
↖ ↑ ↗
← S 54.805434°
W 18.608093°		 ← 176 m → S 54.805434°
W 18.605347°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
S 54.807017°
W 18.608093°		 ← 175.99 m →
30 980 m²		 S 54.807017°
W 18.605347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448314666748047 y=0.682765960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448314666748047 × 217)
    floor (0.448314666748047 × 131072)
    floor (58761.5)     		tx = 58761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682765960693359 × 217)
    floor (0.682765960693359 × 131072)
    floor (89491.5)     		ty = 89491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58761 / 89491 ti = "17/58761/89491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58761/89491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58761 ÷ 217
    58761 ÷ 131072     		x = 0.448310852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89491 ÷ 217
    89491 ÷ 131072     		y = 0.682762145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448310852050781 × 2 - 1) × π
    -0.103378295898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32477249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682762145996094 × 2 - 1) × π
    -0.365524291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.14832843039845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32477249} λ = -0.32477249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14832843039845))-π/2
    2×atan(0.317166492388578)-π/2
    2×0.307130526336151-π/2
    0.614261052672303-1.57079632675     		φ = -0.95653527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32477249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.608093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95653527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.805434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58761 KachelY 89491 -0.32477249 -0.95653527 -18.608093 -54.805434
    Oben rechts KachelX + 1 58762 KachelY 89491 -0.32472456 -0.95653527 -18.605347 -54.805434
    Unten links KachelX 58761 KachelY + 1 89492 -0.32477249 -0.95656290 -18.608093 -54.807017
    Unten rechts KachelX + 1 58762 KachelY + 1 89492 -0.32472456 -0.95656290 -18.605347 -54.807017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95653527--0.95656290) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dl = 176.030729999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95653527--0.95656290) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dr = 176.030729999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32477249--0.32472456) × cos(-0.95653527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576354815631267 × 6371000     		do = 175.996876501547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32477249--0.32472456) × cos(-0.95656290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576332236187332 × 6371000     		du = 175.989981596711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95653527)-sin(-0.95656290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576354815631267-0.576332236187332)×R²
    abs(-0.32472456--0.32477249)×2.25794439346894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25794439346894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25794439346894e-05×40589641000000     		ar = 30980.2517925023m²