Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58760 / 89224
↖ ↑ ↗
← S 54.380558°
W 18.610840°		 ← 177.88 m → S 54.380558°
W 18.608093°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
S 54.382157°
W 18.610840°		 ← 177.87 m →
31 629 m²		 S 54.382157°
W 18.608093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448307037353516 y=0.680728912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448307037353516 × 217)
    floor (0.448307037353516 × 131072)
    floor (58760.5)     		tx = 58760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680728912353516 × 217)
    floor (0.680728912353516 × 131072)
    floor (89224.5)     		ty = 89224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58760 / 89224 ti = "17/58760/89224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58760/89224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58760 ÷ 217
    58760 ÷ 131072     		x = 0.44830322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89224 ÷ 217
    89224 ÷ 131072     		y = 0.68072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44830322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32482043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.3614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13552927819989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32482043} λ = -0.32482043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13552927819989))-π/2
    2×atan(0.321252044625524)-π/2
    2×0.310838275830765-π/2
    0.62167655166153-1.57079632675     		φ = -0.94911978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32482043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.610840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94911978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.380558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58760 KachelY 89224 -0.32482043 -0.94911978 -18.610840 -54.380558
    Oben rechts KachelX + 1 58761 KachelY 89224 -0.32477249 -0.94911978 -18.608093 -54.380558
    Unten links KachelX 58760 KachelY + 1 89225 -0.32482043 -0.94914769 -18.610840 -54.382157
    Unten rechts KachelX + 1 58761 KachelY + 1 89225 -0.32477249 -0.94914769 -18.608093 -54.382157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94911978--0.94914769) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94911978--0.94914769) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32482043--0.32477249) × cos(-0.94911978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582398848626748 × 6371000     		do = 177.879599316856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32482043--0.32477249) × cos(-0.94914769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582376160272143 × 6371000     		du = 177.872669709361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94911978)-sin(-0.94914769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582398848626748-0.582376160272143)×R²
    abs(-0.32477249--0.32482043)×2.26883546041723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26883546041723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26883546041723e-05×40589641000000     		ar = 31628.9754887681m²