Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58757 / 89741
↖ ↑ ↗
← S 55.199251°
W 18.619079°		 ← 174.28 m → S 55.199251°
W 18.616333°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
S 55.200818°
W 18.619079°		 ← 174.27 m →
30 378 m²		 S 55.200818°
W 18.616333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448284149169922 y=0.684673309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448284149169922 × 217)
    floor (0.448284149169922 × 131072)
    floor (58757.5)     		tx = 58757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684673309326172 × 217)
    floor (0.684673309326172 × 131072)
    floor (89741.5)     		ty = 89741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58757 / 89741 ti = "17/58757/89741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58757/89741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58757 ÷ 217
    58757 ÷ 131072     		x = 0.448280334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89741 ÷ 217
    89741 ÷ 131072     		y = 0.684669494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448280334472656 × 2 - 1) × π
    -0.103439331054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32496424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684669494628906 × 2 - 1) × π
    -0.369338989257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.16031265530346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32496424} λ = -0.32496424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16031265530346))-π/2
    2×atan(0.313388183086155)-π/2
    2×0.303693826881005-π/2
    0.607387653762011-1.57079632675     		φ = -0.96340867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32496424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.619079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96340867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.199251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58757 KachelY 89741 -0.32496424 -0.96340867 -18.619079 -55.199251
    Oben rechts KachelX + 1 58758 KachelY 89741 -0.32491631 -0.96340867 -18.616333 -55.199251
    Unten links KachelX 58757 KachelY + 1 89742 -0.32496424 -0.96343603 -18.619079 -55.200818
    Unten rechts KachelX + 1 58758 KachelY + 1 89742 -0.32491631 -0.96343603 -18.616333 -55.200818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96340867--0.96343603) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dl = 174.310560000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96340867--0.96343603) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dr = 174.310560000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32496424--0.32491631) × cos(-0.96340867) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.570724305886669 × 6371000     		do = 174.277532616001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32496424--0.32491631) × cos(-0.96343603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.570701839234894 × 6371000     		du = 174.270672153608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96340867)-sin(-0.96343603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570724305886669-0.570701839234894)×R²
    abs(-0.32491631--0.32496424)×2.24666517752992e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24666517752992e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24666517752992e-05×40589641000000     		ar = 30377.8163821465m²