Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58756 / 89759
↖ ↑ ↗
← S 55.227457°
W 18.621826°		 ← 174.19 m → S 55.227457°
W 18.619079°		 →
↑
174.12 m
↓
↑
174.12 m
↓
S 55.229023°
W 18.621826°		 ← 174.18 m →
30 329 m²		 S 55.229023°
W 18.619079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448276519775391 y=0.684810638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448276519775391 × 217)
    floor (0.448276519775391 × 131072)
    floor (58756.5)     		tx = 58756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684810638427734 × 217)
    floor (0.684810638427734 × 131072)
    floor (89759.5)     		ty = 89759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58756 / 89759 ti = "17/58756/89759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58756/89759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58756 ÷ 217
    58756 ÷ 131072     		x = 0.448272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89759 ÷ 217
    89759 ÷ 131072     		y = 0.684806823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.10345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32501218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684806823730469 × 2 - 1) × π
    -0.369613647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.16117551949662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32501218} λ = -0.32501218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16117551949662))-π/2
    2×atan(0.313117888275037)-π/2
    2×0.303447685318276-π/2
    0.606895370636552-1.57079632675     		φ = -0.96390096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32501218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.621826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96390096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.227457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58756 KachelY 89759 -0.32501218 -0.96390096 -18.621826 -55.227457
    Oben rechts KachelX + 1 58757 KachelY 89759 -0.32496424 -0.96390096 -18.619079 -55.227457
    Unten links KachelX 58756 KachelY + 1 89760 -0.32501218 -0.96392829 -18.621826 -55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 58757 KachelY + 1 89760 -0.32496424 -0.96392829 -18.619079 -55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96390096--0.96392829) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dl = 174.11942999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96390096--0.96392829) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dr = 174.11942999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(-0.96390096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570319996875607 × 6371000     		do = 174.190407082416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(-0.96392829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570297547182735 × 6371000     		du = 174.183550368358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96390096)-sin(-0.96392829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570319996875607-0.570297547182735)×R²
    abs(-0.32496424--0.32501218)×2.24496928719065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24496928719065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24496928719065e-05×40589641000000     		ar = 30329.3374510455m²