Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58756 / 89474
↖ ↑ ↗
← S 54.778514°
W 18.621826°		 ← 176.15 m → S 54.778514°
W 18.619079°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
S 54.780098°
W 18.621826°		 ← 176.14 m →
31 030 m²		 S 54.780098°
W 18.619079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448276519775391 y=0.682636260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448276519775391 × 217)
    floor (0.448276519775391 × 131072)
    floor (58756.5)     		tx = 58756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682636260986328 × 217)
    floor (0.682636260986328 × 131072)
    floor (89474.5)     		ty = 89474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58756 / 89474 ti = "17/58756/89474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58756/89474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58756 ÷ 217
    58756 ÷ 131072     		x = 0.448272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89474 ÷ 217
    89474 ÷ 131072     		y = 0.682632446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.10345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32501218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682632446289062 × 2 - 1) × π
    -0.365264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1475135031049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32501218} λ = -0.32501218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1475135031049))-π/2
    2×atan(0.3174250653646)-π/2
    2×0.307365448176535-π/2
    0.614730896353069-1.57079632675     		φ = -0.95606543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32501218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.621826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95606543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.778514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58756 KachelY 89474 -0.32501218 -0.95606543 -18.621826 -54.778514
    Oben rechts KachelX + 1 58757 KachelY 89474 -0.32496424 -0.95606543 -18.619079 -54.778514
    Unten links KachelX 58756 KachelY + 1 89475 -0.32501218 -0.95609308 -18.621826 -54.780098
    Unten rechts KachelX + 1 58757 KachelY + 1 89475 -0.32496424 -0.95609308 -18.619079 -54.780098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95606543--0.95609308) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dl = 176.158150000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95606543--0.95609308) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dr = 176.158150000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(-0.95606543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576738705044977 × 6371000     		do = 176.150845774888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(-0.95609308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576716116746548 × 6371000     		du = 176.143946727125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95606543)-sin(-0.95609308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576738705044977-0.576716116746548)×R²
    abs(-0.32496424--0.32501218)×2.25882984284942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25882984284942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25882984284942e-05×40589641000000     		ar = 31029.7994530354m²