Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58756 / 89212
↖ ↑ ↗
← S 54.361358°
W 18.621826°		 ← 177.96 m → S 54.361358°
W 18.619079°		 →
↑
177.94 m
↓
↑
177.94 m
↓
S 54.362958°
W 18.621826°		 ← 177.96 m →
31 666 m²		 S 54.362958°
W 18.619079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448276519775391 y=0.680637359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448276519775391 × 217)
    floor (0.448276519775391 × 131072)
    floor (58756.5)     		tx = 58756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680637359619141 × 217)
    floor (0.680637359619141 × 131072)
    floor (89212.5)     		ty = 89212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58756 / 89212 ti = "17/58756/89212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58756/89212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58756 ÷ 217
    58756 ÷ 131072     		x = 0.448272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89212 ÷ 217
    89212 ÷ 131072     		y = 0.680633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.10345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32501218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.36126708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13495403540445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32501218} λ = -0.32501218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13495403540445))-π/2
    2×atan(0.321436895711746)-π/2
    2×0.311005825371069-π/2
    0.622011650742138-1.57079632675     		φ = -0.94878468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32501218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.621826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94878468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.361358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58756 KachelY 89212 -0.32501218 -0.94878468 -18.621826 -54.361358
    Oben rechts KachelX + 1 58757 KachelY 89212 -0.32496424 -0.94878468 -18.619079 -54.361358
    Unten links KachelX 58756 KachelY + 1 89213 -0.32501218 -0.94881261 -18.621826 -54.362958
    Unten rechts KachelX + 1 58757 KachelY + 1 89213 -0.32496424 -0.94881261 -18.619079 -54.362958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94878468--0.94881261) × R
    2.79299999998983e-05 × 6371000     		dl = 177.942029999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94878468--0.94881261) × R
    2.79299999998983e-05 × 6371000     		dr = 177.942029999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(-0.94878468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582671219778118 × 6371000     		do = 177.962788477318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(-0.94881261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582648520617165 × 6371000     		du = 177.955855569286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94878468)-sin(-0.94881261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582671219778118-0.582648520617165)×R²
    abs(-0.32496424--0.32501218)×2.26991609538763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26991609538763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26991609538763e-05×40589641000000     		ar = 31666.4430202539m²