Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58755 / 89739
↖ ↑ ↗
← S 55.196116°
W 18.624573°		 ← 174.33 m → S 55.196116°
W 18.621826°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
S 55.197683°
W 18.624573°		 ← 174.32 m →
30 387 m²		 S 55.197683°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448268890380859 y=0.684658050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448268890380859 × 217)
    floor (0.448268890380859 × 131072)
    floor (58755.5)     		tx = 58755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684658050537109 × 217)
    floor (0.684658050537109 × 131072)
    floor (89739.5)     		ty = 89739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58755 / 89739 ti = "17/58755/89739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58755/89739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58755 ÷ 217
    58755 ÷ 131072     		x = 0.448265075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89739 ÷ 217
    89739 ÷ 131072     		y = 0.684654235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448265075683594 × 2 - 1) × π
    -0.103469848632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32506012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684654235839844 × 2 - 1) × π
    -0.369308471679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.16021678150422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32506012} λ = -0.32506012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16021678150422))-π/2
    2×atan(0.313418230242249)-π/2
    2×0.303721186711585-π/2
    0.60744237342317-1.57079632675     		φ = -0.96335395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32506012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.624573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96335395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.196116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58755 KachelY 89739 -0.32506012 -0.96335395 -18.624573 -55.196116
    Oben rechts KachelX + 1 58756 KachelY 89739 -0.32501218 -0.96335395 -18.621826 -55.196116
    Unten links KachelX 58755 KachelY + 1 89740 -0.32506012 -0.96338131 -18.624573 -55.197683
    Unten rechts KachelX + 1 58756 KachelY + 1 89740 -0.32501218 -0.96338131 -18.621826 -55.197683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96335395--0.96338131) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dl = 174.310560000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96335395--0.96338131) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dr = 174.310560000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32506012--0.32501218) × cos(-0.96335395) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.570769237908523 × 6371000     		do = 174.327616857534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32506012--0.32501218) × cos(-0.96338131) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.570746772111218 × 6371000     		du = 174.320755224768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96335395)-sin(-0.96338131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570769237908523-0.570746772111218)×R²
    abs(-0.32501218--0.32506012)×2.24657973048048e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24657973048048e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24657973048048e-05×40589641000000     		ar = 30386.5464924005m²