Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58754 / 89242
↖ ↑ ↗
← S 54.409340°
W 18.627319°		 ← 177.72 m → S 54.409340°
W 18.624573°		 →
↑
177.75 m
↓
↑
177.75 m
↓
S 54.410939°
W 18.627319°		 ← 177.71 m →
31 589 m²		 S 54.410939°
W 18.624573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448261260986328 y=0.680866241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448261260986328 × 217)
    floor (0.448261260986328 × 131072)
    floor (58754.5)     		tx = 58754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680866241455078 × 217)
    floor (0.680866241455078 × 131072)
    floor (89242.5)     		ty = 89242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58754 / 89242 ti = "17/58754/89242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58754/89242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58754 ÷ 217
    58754 ÷ 131072     		x = 0.448257446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89242 ÷ 217
    89242 ÷ 131072     		y = 0.680862426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448257446289062 × 2 - 1) × π
    -0.103485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32510805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680862426757812 × 2 - 1) × π
    -0.361724853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13639214239305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32510805} λ = -0.32510805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13639214239305))-π/2
    2×atan(0.320974967296481)-π/2
    2×0.310587098384693-π/2
    0.621174196769386-1.57079632675     		φ = -0.94962213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32510805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.627319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94962213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.409340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58754 KachelY 89242 -0.32510805 -0.94962213 -18.627319 -54.409340
    Oben rechts KachelX + 1 58755 KachelY 89242 -0.32506012 -0.94962213 -18.624573 -54.409340
    Unten links KachelX 58754 KachelY + 1 89243 -0.32510805 -0.94965003 -18.627319 -54.410939
    Unten rechts KachelX + 1 58755 KachelY + 1 89243 -0.32506012 -0.94965003 -18.624573 -54.410939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94962213--0.94965003) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dl = 177.750900000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94962213--0.94965003) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dr = 177.750900000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32510805--0.32506012) × cos(-0.94962213) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.58199041324534 × 6371000     		do = 177.717774029039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32510805--0.32506012) × cos(-0.94965003) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581967724860302 × 6371000     		du = 177.710845857726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94962213)-sin(-0.94965003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58199041324534-0.581967724860302)×R²
    abs(-0.32506012--0.32510805)×2.26883850378279e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26883850378279e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26883850378279e-05×40589641000000     		ar = 31588.8785373405m²