Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58753 / 89215
↖ ↑ ↗
← S 54.366159°
W 18.630066°		 ← 177.94 m → S 54.366159°
W 18.627319°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
S 54.367758°
W 18.630066°		 ← 177.94 m →
31 651 m²		 S 54.367758°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448253631591797 y=0.680660247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448253631591797 × 217)
    floor (0.448253631591797 × 131072)
    floor (58753.5)     		tx = 58753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680660247802734 × 217)
    floor (0.680660247802734 × 131072)
    floor (89215.5)     		ty = 89215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58753 / 89215 ti = "17/58753/89215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58753/89215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58753 ÷ 217
    58753 ÷ 131072     		x = 0.448249816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89215 ÷ 217
    89215 ÷ 131072     		y = 0.680656433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448249816894531 × 2 - 1) × π
    -0.103500366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32515599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680656433105469 × 2 - 1) × π
    -0.361312866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.13509784610331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32515599} λ = -0.32515599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13509784610331))-π/2
    2×atan(0.321390672970876)-π/2
    2×0.310963930641521-π/2
    0.621927861283041-1.57079632675     		φ = -0.94886847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32515599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.630066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94886847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.366159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58753 KachelY 89215 -0.32515599 -0.94886847 -18.630066 -54.366159
    Oben rechts KachelX + 1 58754 KachelY 89215 -0.32510805 -0.94886847 -18.627319 -54.366159
    Unten links KachelX 58753 KachelY + 1 89216 -0.32515599 -0.94889639 -18.630066 -54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 58754 KachelY + 1 89216 -0.32510805 -0.94889639 -18.627319 -54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94886847--0.94889639) × R
    2.79200000000701e-05 × 6371000     		dl = 177.878320000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94886847--0.94889639) × R
    2.79200000000701e-05 × 6371000     		dr = 177.878320000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(-0.94886847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582603120931728 × 6371000     		do = 177.941989336972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(-0.94889639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 177.935058494913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94886847)-sin(-0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582603120931728-0.582580428535012)×R²
    abs(-0.32510805--0.32515599)×2.26923967162618e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26923967162618e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26923967162618e-05×40589641000000     		ar = 31651.4056994848m²