Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58751 / 89471
↖ ↑ ↗
← S 54.773761°
W 18.635559°		 ← 176.13 m → S 54.773761°
W 18.632813°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
S 54.775346°
W 18.635559°		 ← 176.13 m →
31 027 m²		 S 54.775346°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448238372802734 y=0.682613372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448238372802734 × 217)
    floor (0.448238372802734 × 131072)
    floor (58751.5)     		tx = 58751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682613372802734 × 217)
    floor (0.682613372802734 × 131072)
    floor (89471.5)     		ty = 89471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58751 / 89471 ti = "17/58751/89471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58751/89471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58751 ÷ 217
    58751 ÷ 131072     		x = 0.448234558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89471 ÷ 217
    89471 ÷ 131072     		y = 0.682609558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448234558105469 × 2 - 1) × π
    -0.103530883789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32525186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682609558105469 × 2 - 1) × π
    -0.365219116210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.14736969240604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32525186} λ = -0.32525186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14736969240604))-π/2
    2×atan(0.317470717767659)-π/2
    2×0.30740692121072-π/2
    0.614813842421439-1.57079632675     		φ = -0.95598248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32525186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.635559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95598248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.773761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58751 KachelY 89471 -0.32525186 -0.95598248 -18.635559 -54.773761
    Oben rechts KachelX + 1 58752 KachelY 89471 -0.32520393 -0.95598248 -18.632813 -54.773761
    Unten links KachelX 58751 KachelY + 1 89472 -0.32525186 -0.95601013 -18.635559 -54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 58752 KachelY + 1 89472 -0.32520393 -0.95601013 -18.632813 -54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95598248--0.95601013) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dl = 176.158150000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95598248--0.95601013) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dr = 176.158150000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32525186--0.32520393) × cos(-0.95598248) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576806467294615 × 6371000     		do = 176.13479377032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32525186--0.32520393) × cos(-0.95601013) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 176.127896565603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95598248)-sin(-0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576806467294615-0.576783880319027)×R²
    abs(-0.32520393--0.32525186)×2.25869755875463e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25869755875463e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25869755875463e-05×40589641000000     		ar = 31026.9719238838m²