Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58741 / 89222
↖ ↑ ↗
← S 54.377358°
W 18.663025°		 ← 177.86 m → S 54.377358°
W 18.660279°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
S 54.378958°
W 18.663025°		 ← 177.85 m →
31 636 m²		 S 54.378958°
W 18.660279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448162078857422 y=0.680713653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448162078857422 × 217)
    floor (0.448162078857422 × 131072)
    floor (58741.5)     		tx = 58741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680713653564453 × 217)
    floor (0.680713653564453 × 131072)
    floor (89222.5)     		ty = 89222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58741 / 89222 ti = "17/58741/89222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58741/89222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58741 ÷ 217
    58741 ÷ 131072     		x = 0.448158264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89222 ÷ 217
    89222 ÷ 131072     		y = 0.680709838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448158264160156 × 2 - 1) × π
    -0.103683471679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32573123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680709838867188 × 2 - 1) × π
    -0.361419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13543340440065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32573123} λ = -0.32573123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13543340440065))-π/2
    2×atan(0.321282845756043)-π/2
    2×0.31086619531404-π/2
    0.621732390628079-1.57079632675     		φ = -0.94906394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32573123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.663025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94906394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.377358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58741 KachelY 89222 -0.32573123 -0.94906394 -18.663025 -54.377358
    Oben rechts KachelX + 1 58742 KachelY 89222 -0.32568330 -0.94906394 -18.660279 -54.377358
    Unten links KachelX 58741 KachelY + 1 89223 -0.32573123 -0.94909186 -18.663025 -54.378958
    Unten rechts KachelX + 1 58742 KachelY + 1 89223 -0.32568330 -0.94909186 -18.660279 -54.378958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94906394--0.94909186) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dl = 177.878319999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94906394--0.94909186) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dr = 177.878319999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32573123--0.32568330) × cos(-0.94906394) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582444240232341 × 6371000     		do = 177.856355559058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32573123--0.32568330) × cos(-0.94909186) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582421544656551 × 6371000     		du = 177.849425191963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94906394)-sin(-0.94909186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582444240232341-0.582421544656551)×R²
    abs(-0.32568330--0.32573123)×2.26955757902658e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26955757902658e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26955757902658e-05×40589641000000     		ar = 31636.1733492649m²