Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58732 / 89780
↖ ↑ ↗
← S 55.260338°
W 18.687744°		 ← 174.05 m → S 55.260338°
W 18.684998°		 →
↑
173.99 m
↓
↑
173.99 m
↓
S 55.261903°
W 18.687744°		 ← 174.04 m →
30 282 m²		 S 55.261903°
W 18.684998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448093414306641 y=0.684970855712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448093414306641 × 217)
    floor (0.448093414306641 × 131072)
    floor (58732.5)     		tx = 58732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684970855712891 × 217)
    floor (0.684970855712891 × 131072)
    floor (89780.5)     		ty = 89780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58732 / 89780 ti = "17/58732/89780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58732/89780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58732 ÷ 217
    58732 ÷ 131072     		x = 0.448089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89780 ÷ 217
    89780 ÷ 131072     		y = 0.684967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.36993408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16218219438864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32616267} λ = -0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16218219438864))-π/2
    2×atan(0.312802838961391)-π/2
    2×0.303160740576257-π/2
    0.606321481152514-1.57079632675     		φ = -0.96447485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96447485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.260338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58732 KachelY 89780 -0.32616267 -0.96447485 -18.687744 -55.260338
    Oben rechts KachelX + 1 58733 KachelY 89780 -0.32611473 -0.96447485 -18.684998 -55.260338
    Unten links KachelX 58732 KachelY + 1 89781 -0.32616267 -0.96450216 -18.687744 -55.261903
    Unten rechts KachelX + 1 58733 KachelY + 1 89781 -0.32611473 -0.96450216 -18.684998 -55.261903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96447485--0.96450216) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dl = 173.992010000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96447485--0.96450216) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dr = 173.992010000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32616267--0.32611473) × cos(-0.96447485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569848496763531 × 6371000     		do = 174.046398811775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32616267--0.32611473) × cos(-0.96450216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569826054564705 × 6371000     		du = 174.039544386591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96447485)-sin(-0.96450216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569848496763531-0.569826054564705)×R²
    abs(-0.32611473--0.32616267)×2.24421988264112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24421988264112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24421988264112e-05×40589641000000     		ar = 30282.0864569108m²