Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58732 / 89757
↖ ↑ ↗
← S 55.224324°
W 18.687744°		 ← 174.20 m → S 55.224324°
W 18.684998°		 →
↑
174.18 m
↓
↑
174.18 m
↓
S 55.225890°
W 18.687744°		 ← 174.20 m →
30 343 m²		 S 55.225890°
W 18.684998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448093414306641 y=0.684795379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448093414306641 × 217)
    floor (0.448093414306641 × 131072)
    floor (58732.5)     		tx = 58732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684795379638672 × 217)
    floor (0.684795379638672 × 131072)
    floor (89757.5)     		ty = 89757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58732 / 89757 ti = "17/58732/89757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58732/89757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58732 ÷ 217
    58732 ÷ 131072     		x = 0.448089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89757 ÷ 217
    89757 ÷ 131072     		y = 0.684791564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684791564941406 × 2 - 1) × π
    -0.369583129882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.16107964569738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32616267} λ = -0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16107964569738))-π/2
    2×atan(0.313147909515699)-π/2
    2×0.303475025767411-π/2
    0.606950051534822-1.57079632675     		φ = -0.96384628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96384628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.224324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58732 KachelY 89757 -0.32616267 -0.96384628 -18.687744 -55.224324
    Oben rechts KachelX + 1 58733 KachelY 89757 -0.32611473 -0.96384628 -18.684998 -55.224324
    Unten links KachelX 58732 KachelY + 1 89758 -0.32616267 -0.96387362 -18.687744 -55.225890
    Unten rechts KachelX + 1 58733 KachelY + 1 89758 -0.32611473 -0.96387362 -18.684998 -55.225890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96384628--0.96387362) × R
    2.73399999999313e-05 × 6371000     		dl = 174.183139999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96384628--0.96387362) × R
    2.73399999999313e-05 × 6371000     		dr = 174.183139999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32616267--0.32611473) × cos(-0.96384628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570364911411197 × 6371000     		do = 174.204125137685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32616267--0.32611473) × cos(-0.96387362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570342454356561 × 6371000     		du = 174.197266175155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96384628)-sin(-0.96387362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570364911411197-0.570342454356561)×R²
    abs(-0.32611473--0.32616267)×2.24570546364378e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24570546364378e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24570546364378e-05×40589641000000     		ar = 30342.8241615635m²