Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58731 / 88446
↖ ↑ ↗
← S 53.117108°
W 18.690491°		 ← 183.27 m → S 53.117108°
W 18.687744°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
S 53.118757°
W 18.690491°		 ← 183.27 m →
33 592 m²		 S 53.118757°
W 18.687744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448085784912109 y=0.674793243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448085784912109 × 217)
    floor (0.448085784912109 × 131072)
    floor (58731.5)     		tx = 58731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674793243408203 × 217)
    floor (0.674793243408203 × 131072)
    floor (88446.5)     		ty = 88446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58731 / 88446 ti = "17/58731/88446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58731/88446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58731 ÷ 217
    58731 ÷ 131072     		x = 0.448081970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88446 ÷ 217
    88446 ÷ 131072     		y = 0.674789428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448081970214844 × 2 - 1) × π
    -0.103836059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32621060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674789428710938 × 2 - 1) × π
    -0.349578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09823437029549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32621060} λ = -0.32621060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09823437029549))-π/2
    2×atan(0.333459329930923)-π/2
    2×0.32186394704786-π/2
    0.64372789409572-1.57079632675     		φ = -0.92706843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32621060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.690491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92706843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.117108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58731 KachelY 88446 -0.32621060 -0.92706843 -18.690491 -53.117108
    Oben rechts KachelX + 1 58732 KachelY 88446 -0.32616267 -0.92706843 -18.687744 -53.117108
    Unten links KachelX 58731 KachelY + 1 88447 -0.32621060 -0.92709720 -18.690491 -53.118757
    Unten rechts KachelX + 1 58732 KachelY + 1 88447 -0.32616267 -0.92709720 -18.687744 -53.118757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92706843--0.92709720) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dl = 183.293669999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92706843--0.92709720) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dr = 183.293669999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32621060--0.32616267) × cos(-0.92706843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600181414969895 × 6371000     		do = 183.272615243592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32621060--0.32616267) × cos(-0.92709720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600158402636916 × 6371000     		du = 183.265588150878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92706843)-sin(-0.92709720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600181414969895-0.600158402636916)×R²
    abs(-0.32616267--0.32621060)×2.30123329794107e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30123329794107e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30123329794107e-05×40589641000000     		ar = 33592.0662499031m²