Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58729 / 87529
↖ ↑ ↗
← S 51.578776°
W 18.695984°		 ← 189.80 m → S 51.578776°
W 18.693237°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
S 51.580483°
W 18.695984°		 ← 189.80 m →
36 022 m²		 S 51.580483°
W 18.693237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448070526123047 y=0.667797088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448070526123047 × 217)
    floor (0.448070526123047 × 131072)
    floor (58729.5)     		tx = 58729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667797088623047 × 217)
    floor (0.667797088623047 × 131072)
    floor (87529.5)     		ty = 87529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58729 / 87529 ti = "17/58729/87529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58729/87529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58729 ÷ 217
    58729 ÷ 131072     		x = 0.448066711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87529 ÷ 217
    87529 ÷ 131072     		y = 0.667793273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448066711425781 × 2 - 1) × π
    -0.103866577148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32630648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667793273925781 × 2 - 1) × π
    -0.335586547851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.0542762333439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32630648} λ = -0.32630648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0542762333439))-π/2
    2×atan(0.348444528595238)-π/2
    2×0.335288427243434-π/2
    0.670576854486868-1.57079632675     		φ = -0.90021947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32630648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.695984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90021947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.578776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58729 KachelY 87529 -0.32630648 -0.90021947 -18.695984 -51.578776
    Oben rechts KachelX + 1 58730 KachelY 87529 -0.32625854 -0.90021947 -18.693237 -51.578776
    Unten links KachelX 58729 KachelY + 1 87530 -0.32630648 -0.90024926 -18.695984 -51.580483
    Unten rechts KachelX + 1 58730 KachelY + 1 87530 -0.32625854 -0.90024926 -18.693237 -51.580483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90021947--0.90024926) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dl = 189.792090000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90021947--0.90024926) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dr = 189.792090000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32630648--0.32625854) × cos(-0.90021947) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62143803654462 × 6371000     		do = 189.803172175883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32630648--0.32625854) × cos(-0.90024926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621414696896709 × 6371000     		du = 189.796043646648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90021947)-sin(-0.90024926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62143803654462-0.621414696896709)×R²
    abs(-0.32625854--0.32630648)×2.33396479110137e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33396479110137e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33396479110137e-05×40589641000000     		ar = 36022.4642693448m²