Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58725 / 88181
↖ ↑ ↗
← S 52.678047°
W 18.706970°		 ← 185.14 m → S 52.678047°
W 18.704224°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
S 52.679712°
W 18.706970°		 ← 185.13 m →
34 276 m²		 S 52.679712°
W 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448040008544922 y=0.672771453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448040008544922 × 217)
    floor (0.448040008544922 × 131072)
    floor (58725.5)     		tx = 58725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672771453857422 × 217)
    floor (0.672771453857422 × 131072)
    floor (88181.5)     		ty = 88181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58725 / 88181 ti = "17/58725/88181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58725/88181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58725 ÷ 217
    58725 ÷ 131072     		x = 0.448036193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88181 ÷ 217
    88181 ÷ 131072     		y = 0.672767639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448036193847656 × 2 - 1) × π
    -0.103927612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32649822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672767639160156 × 2 - 1) × π
    -0.345535278320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.08553109189617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32649822} λ = -0.32649822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08553109189617))-π/2
    2×atan(0.33772237664014)-π/2
    2×0.325695478548614-π/2
    0.651390957097228-1.57079632675     		φ = -0.91940537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32649822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.706970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91940537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.678047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58725 KachelY 88181 -0.32649822 -0.91940537 -18.706970 -52.678047
    Oben rechts KachelX + 1 58726 KachelY 88181 -0.32645029 -0.91940537 -18.704224 -52.678047
    Unten links KachelX 58725 KachelY + 1 88182 -0.32649822 -0.91943443 -18.706970 -52.679712
    Unten rechts KachelX + 1 58726 KachelY + 1 88182 -0.32645029 -0.91943443 -18.704224 -52.679712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91940537--0.91943443) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dl = 185.14126000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91940537--0.91943443) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dr = 185.14126000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(-0.91940537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.606293138102498 × 6371000     		do = 185.138903426162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32649822--0.32645029) × cos(-0.91943443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.606270028136048 × 6371000     		du = 185.131846519894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91940537)-sin(-0.91943443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606293138102498-0.606270028136048)×R²
    abs(-0.32645029--0.32649822)×2.31099664497192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31099664497192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31099664497192e-05×40589641000000     		ar = 34276.1965954902m²