Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58724 / 87190
↖ ↑ ↗
← S 50.996472°
W 18.709717°		 ← 192.23 m → S 50.996472°
W 18.706970°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
S 50.998200°
W 18.709717°		 ← 192.22 m →
36 948 m²		 S 50.998200°
W 18.706970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448032379150391 y=0.665210723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448032379150391 × 217)
    floor (0.448032379150391 × 131072)
    floor (58724.5)     		tx = 58724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665210723876953 × 217)
    floor (0.665210723876953 × 131072)
    floor (87190.5)     		ty = 87190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58724 / 87190 ti = "17/58724/87190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58724/87190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58724 ÷ 217
    58724 ÷ 131072     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87190 ÷ 217
    87190 ÷ 131072     		y = 0.665206909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665206909179688 × 2 - 1) × π
    -0.330413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0380256243727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0380256243727))-π/2
    2×atan(0.354153223633105)-π/2
    2×0.340369993836526-π/2
    0.680739987673052-1.57079632675     		φ = -0.89005634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89005634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.996472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58724 KachelY 87190 -0.32654616 -0.89005634 -18.709717 -50.996472
    Oben rechts KachelX + 1 58725 KachelY 87190 -0.32649822 -0.89005634 -18.706970 -50.996472
    Unten links KachelX 58724 KachelY + 1 87191 -0.32654616 -0.89008651 -18.709717 -50.998200
    Unten rechts KachelX + 1 58725 KachelY + 1 87191 -0.32649822 -0.89008651 -18.706970 -50.998200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89005634--0.89008651) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dl = 192.213070000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89005634--0.89008651) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dr = 192.213070000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32649822) × cos(-0.89005634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629368245352526 × 6371000     		do = 192.225262069171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32649822) × cos(-0.89008651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629344799741649 × 6371000     		du = 192.218101176119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89005634)-sin(-0.89008651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629368245352526-0.629344799741649)×R²
    abs(-0.32649822--0.32654616)×2.3445610877304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3445610877304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3445610877304e-05×40589641000000     		ar = 36947.51954812m²