Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58723 / 89429
↖ ↑ ↗
← S 54.707169°
W 18.712464°		 ← 176.46 m → S 54.707169°
W 18.709717°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
S 54.708755°
W 18.712464°		 ← 176.45 m →
31 129 m²		 S 54.708755°
W 18.709717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448024749755859 y=0.682292938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448024749755859 × 217)
    floor (0.448024749755859 × 131072)
    floor (58723.5)     		tx = 58723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682292938232422 × 217)
    floor (0.682292938232422 × 131072)
    floor (89429.5)     		ty = 89429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58723 / 89429 ti = "17/58723/89429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58723/89429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58723 ÷ 217
    58723 ÷ 131072     		x = 0.448020935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89429 ÷ 217
    89429 ÷ 131072     		y = 0.682289123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448020935058594 × 2 - 1) × π
    -0.103958129882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32659410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682289123535156 × 2 - 1) × π
    -0.364578247070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.145356342622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32659410} λ = -0.32659410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.145356342622))-π/2
    2×atan(0.318110541246817)-π/2
    2×0.307988055419719-π/2
    0.615976110839438-1.57079632675     		φ = -0.95482022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32659410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.712464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95482022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.707169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58723 KachelY 89429 -0.32659410 -0.95482022 -18.712464 -54.707169
    Oben rechts KachelX + 1 58724 KachelY 89429 -0.32654616 -0.95482022 -18.709717 -54.707169
    Unten links KachelX 58723 KachelY + 1 89430 -0.32659410 -0.95484791 -18.712464 -54.708755
    Unten rechts KachelX + 1 58724 KachelY + 1 89430 -0.32654616 -0.95484791 -18.709717 -54.708755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95482022--0.95484791) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95482022--0.95484791) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32659410--0.32654616) × cos(-0.95482022) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577755505411666 × 6371000     		do = 176.461402779521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32659410--0.32654616) × cos(-0.95484791) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577732904338467 × 6371000     		du = 176.454499830014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95482022)-sin(-0.95484791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577755505411666-0.577732904338467)×R²
    abs(-0.32654616--0.32659410)×2.26010731989579e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26010731989579e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26010731989579e-05×40589641000000     		ar = 31129.4748008722m²