Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58721 / 87517
↖ ↑ ↗
← S 51.558290°
W 18.717956°		 ← 189.89 m → S 51.558290°
W 18.715210°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
S 51.559998°
W 18.717956°		 ← 189.88 m →
36 063 m²		 S 51.559998°
W 18.715210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448009490966797 y=0.667705535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448009490966797 × 217)
    floor (0.448009490966797 × 131072)
    floor (58721.5)     		tx = 58721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667705535888672 × 217)
    floor (0.667705535888672 × 131072)
    floor (87517.5)     		ty = 87517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58721 / 87517 ti = "17/58721/87517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58721/87517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58721 ÷ 217
    58721 ÷ 131072     		x = 0.448005676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87517 ÷ 217
    87517 ÷ 131072     		y = 0.667701721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448005676269531 × 2 - 1) × π
    -0.103988647460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32668997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667701721191406 × 2 - 1) × π
    -0.335403442382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.05370099054845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32668997} λ = -0.32668997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05370099054845))-π/2
    2×atan(0.348645026461872)-π/2
    2×0.335467206398988-π/2
    0.670934412797975-1.57079632675     		φ = -0.89986191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32668997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.717956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89986191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.558290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58721 KachelY 87517 -0.32668997 -0.89986191 -18.717956 -51.558290
    Oben rechts KachelX + 1 58722 KachelY 87517 -0.32664203 -0.89986191 -18.715210 -51.558290
    Unten links KachelX 58721 KachelY + 1 87518 -0.32668997 -0.89989172 -18.717956 -51.559998
    Unten rechts KachelX + 1 58722 KachelY + 1 87518 -0.32664203 -0.89989172 -18.715210 -51.559998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89986191--0.89989172) × R
    2.9809999999908e-05 × 6371000     		dl = 189.919509999414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89986191--0.89989172) × R
    2.9809999999908e-05 × 6371000     		dr = 189.919509999414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32668997--0.32664203) × cos(-0.89986191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621718131956578 × 6371000     		do = 189.888720524131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32668997--0.32664203) × cos(-0.89989172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621694783264222 × 6371000     		du = 189.88158923249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89986191)-sin(-0.89989172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621718131956578-0.621694783264222)×R²
    abs(-0.32664203--0.32668997)×2.33486923560955e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33486923560955e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33486923560955e-05×40589641000000     		ar = 36062.8955734056m²