Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58719 / 87007
↖ ↑ ↗
← S 50.679057°
W 18.723449°		 ← 193.50 m → S 50.679057°
W 18.720703°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
S 50.680797°
W 18.723449°		 ← 193.49 m →
37 451 m²		 S 50.680797°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447994232177734 y=0.663814544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447994232177734 × 217)
    floor (0.447994232177734 × 131072)
    floor (58719.5)     		tx = 58719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663814544677734 × 217)
    floor (0.663814544677734 × 131072)
    floor (87007.5)     		ty = 87007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58719 / 87007 ti = "17/58719/87007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58719/87007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58719 ÷ 217
    58719 ÷ 131072     		x = 0.447990417480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87007 ÷ 217
    87007 ÷ 131072     		y = 0.663810729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447990417480469 × 2 - 1) × π
    -0.104019165039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32678584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663810729980469 × 2 - 1) × π
    -0.327621459960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.02925317174223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32678584} λ = -0.32678584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02925317174223))-π/2
    2×atan(0.357273683041065)-π/2
    2×0.34313996220092-π/2
    0.68627992440184-1.57079632675     		φ = -0.88451640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32678584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.723449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88451640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.679057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58719 KachelY 87007 -0.32678584 -0.88451640 -18.723449 -50.679057
    Oben rechts KachelX + 1 58720 KachelY 87007 -0.32673791 -0.88451640 -18.720703 -50.679057
    Unten links KachelX 58719 KachelY + 1 87008 -0.32678584 -0.88454678 -18.723449 -50.680797
    Unten rechts KachelX + 1 58720 KachelY + 1 87008 -0.32673791 -0.88454678 -18.720703 -50.680797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88451640--0.88454678) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88451640--0.88454678) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32678584--0.32673791) × cos(-0.88451640) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633663692708226 × 6371000     		do = 193.496831542574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32678584--0.32673791) × cos(-0.88454678) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633640190185394 × 6371000     		du = 193.489654764492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88451640)-sin(-0.88454678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633663692708226-0.633640190185394)×R²
    abs(-0.32673791--0.32678584)×2.35025228322305e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35025228322305e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35025228322305e-05×40589641000000     		ar = 37450.8068385618m²