Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58718 / 88289
↖ ↑ ↗
← S 52.857522°
W 18.726196°		 ← 184.42 m → S 52.857522°
W 18.723449°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
S 52.859181°
W 18.726196°		 ← 184.41 m →
34 013 m²		 S 52.859181°
W 18.723449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447986602783203 y=0.673595428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447986602783203 × 217)
    floor (0.447986602783203 × 131072)
    floor (58718.5)     		tx = 58718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673595428466797 × 217)
    floor (0.673595428466797 × 131072)
    floor (88289.5)     		ty = 88289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58718 / 88289 ti = "17/58718/88289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58718/88289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58718 ÷ 217
    58718 ÷ 131072     		x = 0.447982788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88289 ÷ 217
    88289 ÷ 131072     		y = 0.673591613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447982788085938 × 2 - 1) × π
    -0.104034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32683378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673591613769531 × 2 - 1) × π
    -0.347183227539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.09070827705514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32683378} λ = -0.32683378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09070827705514))-π/2
    2×atan(0.335978443591351)-π/2
    2×0.324129261556037-π/2
    0.648258523112074-1.57079632675     		φ = -0.92253780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32683378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92253780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.857522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58718 KachelY 88289 -0.32683378 -0.92253780 -18.726196 -52.857522
    Oben rechts KachelX + 1 58719 KachelY 88289 -0.32678584 -0.92253780 -18.723449 -52.857522
    Unten links KachelX 58718 KachelY + 1 88290 -0.32683378 -0.92256675 -18.726196 -52.859181
    Unten rechts KachelX + 1 58719 KachelY + 1 88290 -0.32678584 -0.92256675 -18.723449 -52.859181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92253780--0.92256675) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92253780--0.92256675) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32683378--0.32678584) × cos(-0.92253780) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603799130149664 × 6371000     		do = 184.41579613741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32683378--0.32678584) × cos(-0.92256675) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603776052794774 × 6371000     		du = 184.408747719215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92253780)-sin(-0.92256675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603799130149664-0.603776052794774)×R²
    abs(-0.32678584--0.32683378)×2.30773548905994e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30773548905994e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30773548905994e-05×40589641000000     		ar = 34013.082422403m²