Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58716 / 88183
↖ ↑ ↗
← S 52.681378°
W 18.731690°		 ← 185.16 m → S 52.681378°
W 18.728943°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
S 52.683043°
W 18.731690°		 ← 185.16 m →
34 281 m²		 S 52.683043°
W 18.728943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447971343994141 y=0.672786712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447971343994141 × 217)
    floor (0.447971343994141 × 131072)
    floor (58716.5)     		tx = 58716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672786712646484 × 217)
    floor (0.672786712646484 × 131072)
    floor (88183.5)     		ty = 88183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58716 / 88183 ti = "17/58716/88183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58716/88183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58716 ÷ 217
    58716 ÷ 131072     		x = 0.447967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88183 ÷ 217
    88183 ÷ 131072     		y = 0.672782897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672782897949219 × 2 - 1) × π
    -0.345565795898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.08562696569541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32692966} λ = -0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08562696569541))-π/2
    2×atan(0.337689999464889)-π/2
    2×0.325666415843243-π/2
    0.651332831686485-1.57079632675     		φ = -0.91946350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91946350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.681378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58716 KachelY 88183 -0.32692966 -0.91946350 -18.731690 -52.681378
    Oben rechts KachelX + 1 58717 KachelY 88183 -0.32688172 -0.91946350 -18.728943 -52.681378
    Unten links KachelX 58716 KachelY + 1 88184 -0.32692966 -0.91949256 -18.731690 -52.683043
    Unten rechts KachelX + 1 58717 KachelY + 1 88184 -0.32688172 -0.91949256 -18.728943 -52.683043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91946350--0.91949256) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dl = 185.14126000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91946350--0.91949256) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dr = 185.14126000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32692966--0.32688172) × cos(-0.91946350) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606246909704849 × 6371000     		do = 185.16341101941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32692966--0.32688172) × cos(-0.91949256) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606223798714272 × 6371000     		du = 185.156352328011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91946350)-sin(-0.91949256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606246909704849-0.606223798714272)×R²
    abs(-0.32688172--0.32692966)×2.31109905766136e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31109905766136e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31109905766136e-05×40589641000000     		ar = 34280.7337970657m²