Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58714 / 88452
↖ ↑ ↗
← S 53.126998°
W 18.737183°		 ← 183.27 m → S 53.126998°
W 18.734436°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
S 53.128646°
W 18.737183°		 ← 183.26 m →
33 580 m²		 S 53.128646°
W 18.734436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447956085205078 y=0.674839019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447956085205078 × 217)
    floor (0.447956085205078 × 131072)
    floor (58714.5)     		tx = 58714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674839019775391 × 217)
    floor (0.674839019775391 × 131072)
    floor (88452.5)     		ty = 88452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58714 / 88452 ti = "17/58714/88452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58714/88452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58714 ÷ 217
    58714 ÷ 131072     		x = 0.447952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88452 ÷ 217
    88452 ÷ 131072     		y = 0.674835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.34967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09852199169321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32702553} λ = -0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09852199169321))-π/2
    2×atan(0.333363433683933)-π/2
    2×0.321777644467549-π/2
    0.643555288935097-1.57079632675     		φ = -0.92724104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92724104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.126998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58714 KachelY 88452 -0.32702553 -0.92724104 -18.737183 -53.126998
    Oben rechts KachelX + 1 58715 KachelY 88452 -0.32697759 -0.92724104 -18.734436 -53.126998
    Unten links KachelX 58714 KachelY + 1 88453 -0.32702553 -0.92726980 -18.737183 -53.128646
    Unten rechts KachelX + 1 58715 KachelY + 1 88453 -0.32697759 -0.92726980 -18.734436 -53.128646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92724104--0.92726980) × R
    2.87600000000721e-05 × 6371000     		dl = 183.229960000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92724104--0.92726980) × R
    2.87600000000721e-05 × 6371000     		dr = 183.229960000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(-0.92724104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600043341520692 × 6371000     		do = 183.268681616122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(-0.92726980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600020334207465 × 6371000     		du = 183.261654590454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92724104)-sin(-0.92726980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600043341520692-0.600020334207465)×R²
    abs(-0.32697759--0.32702553)×2.30073132266861e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30073132266861e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30073132266861e-05×40589641000000     		ar = 33579.6694234223m²