Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58714 / 88291
↖ ↑ ↗
← S 52.860839°
W 18.737183°		 ← 184.40 m → S 52.860839°
W 18.734436°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
S 52.862497°
W 18.737183°		 ← 184.39 m →
33 999 m²		 S 52.862497°
W 18.734436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447956085205078 y=0.673610687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447956085205078 × 217)
    floor (0.447956085205078 × 131072)
    floor (58714.5)     		tx = 58714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673610687255859 × 217)
    floor (0.673610687255859 × 131072)
    floor (88291.5)     		ty = 88291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58714 / 88291 ti = "17/58714/88291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58714/88291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58714 ÷ 217
    58714 ÷ 131072     		x = 0.447952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88291 ÷ 217
    88291 ÷ 131072     		y = 0.673606872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673606872558594 × 2 - 1) × π
    -0.347213745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.09080415085438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32702553} λ = -0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09080415085438))-π/2
    2×atan(0.335946233605573)-π/2
    2×0.324100318403899-π/2
    0.648200636807797-1.57079632675     		φ = -0.92259569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92259569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.860839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58714 KachelY 88291 -0.32702553 -0.92259569 -18.737183 -52.860839
    Oben rechts KachelX + 1 58715 KachelY 88291 -0.32697759 -0.92259569 -18.734436 -52.860839
    Unten links KachelX 58714 KachelY + 1 88292 -0.32702553 -0.92262463 -18.737183 -52.862497
    Unten rechts KachelX + 1 58715 KachelY + 1 88292 -0.32697759 -0.92262463 -18.734436 -52.862497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92259569--0.92262463) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92259569--0.92262463) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(-0.92259569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603752982905571 × 6371000     		do = 184.401701581234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32702553--0.32697759) × cos(-0.92262463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603729912510712 × 6371000     		du = 184.394655288812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92259569)-sin(-0.92262463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603752982905571-0.603729912510712)×R²
    abs(-0.32697759--0.32702553)×2.30703948594924e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30703948594924e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30703948594924e-05×40589641000000     		ar = 33998.7350042363m²