Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58712 / 87528
↖ ↑ ↗
← S 51.577069°
W 18.742676°		 ← 189.77 m → S 51.577069°
W 18.739929°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
S 51.578776°
W 18.742676°		 ← 189.76 m →
36 016 m²		 S 51.578776°
W 18.739929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447940826416016 y=0.667789459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447940826416016 × 217)
    floor (0.447940826416016 × 131072)
    floor (58712.5)     		tx = 58712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667789459228516 × 217)
    floor (0.667789459228516 × 131072)
    floor (87528.5)     		ty = 87528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58712 / 87528 ti = "17/58712/87528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58712/87528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58712 ÷ 217
    58712 ÷ 131072     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87528 ÷ 217
    87528 ÷ 131072     		y = 0.66778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.3355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05422829644427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05422829644427))-π/2
    2×atan(0.348461232345989)-π/2
    2×0.335303322429483-π/2
    0.670606644858967-1.57079632675     		φ = -0.90018968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90018968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.577069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58712 KachelY 87528 -0.32712140 -0.90018968 -18.742676 -51.577069
    Oben rechts KachelX + 1 58713 KachelY 87528 -0.32707347 -0.90018968 -18.739929 -51.577069
    Unten links KachelX 58712 KachelY + 1 87529 -0.32712140 -0.90021947 -18.742676 -51.578776
    Unten rechts KachelX + 1 58713 KachelY + 1 87529 -0.32707347 -0.90021947 -18.739929 -51.578776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90018968--0.90021947) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dl = 189.792090000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90018968--0.90021947) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dr = 189.792090000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(-0.90018968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621461375641039 × 6371000     		do = 189.770707232457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32707347) × cos(-0.90021947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.62143803654462 × 6371000     		du = 189.763580358595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90018968)-sin(-0.90021947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621461375641039-0.62143803654462)×R²
    abs(-0.32707347--0.32712140)×2.33390964196056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33390964196056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33390964196056e-05×40589641000000     		ar = 36016.3028370613m²