Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58710 / 89603
↖ ↑ ↗
← S 54.982342°
W 18.748169°		 ← 175.26 m → S 54.982342°
W 18.745422°		 →
↑
175.27 m
↓
↑
175.27 m
↓
S 54.983918°
W 18.748169°		 ← 175.26 m →
30 717 m²		 S 54.983918°
W 18.745422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447925567626953 y=0.683620452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447925567626953 × 217)
    floor (0.447925567626953 × 131072)
    floor (58710.5)     		tx = 58710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683620452880859 × 217)
    floor (0.683620452880859 × 131072)
    floor (89603.5)     		ty = 89603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58710 / 89603 ti = "17/58710/89603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58710/89603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58710 ÷ 217
    58710 ÷ 131072     		x = 0.447921752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89603 ÷ 217
    89603 ÷ 131072     		y = 0.683616638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447921752929688 × 2 - 1) × π
    -0.104156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32721728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683616638183594 × 2 - 1) × π
    -0.367233276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.15369736315589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32721728} λ = -0.32721728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15369736315589))-π/2
    2×atan(0.315468209879802)-π/2
    2×0.305586712890679-π/2
    0.611173425781357-1.57079632675     		φ = -0.95962290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32721728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.748169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95962290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.982342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58710 KachelY 89603 -0.32721728 -0.95962290 -18.748169 -54.982342
    Oben rechts KachelX + 1 58711 KachelY 89603 -0.32716934 -0.95962290 -18.745422 -54.982342
    Unten links KachelX 58710 KachelY + 1 89604 -0.32721728 -0.95965041 -18.748169 -54.983918
    Unten rechts KachelX + 1 58711 KachelY + 1 89604 -0.32716934 -0.95965041 -18.745422 -54.983918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95962290--0.95965041) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dl = 175.266210000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95962290--0.95965041) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dr = 175.266210000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32721728--0.32716934) × cos(-0.95962290) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573828862427006 × 6371000     		do = 175.262104940215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32721728--0.32716934) × cos(-0.95965041) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573806332201139 × 6371000     		du = 175.255223629307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95962290)-sin(-0.95965041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573828862427006-0.573806332201139)×R²
    abs(-0.32716934--0.32721728)×2.25302258674009e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25302258674009e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25302258674009e-05×40589641000000     		ar = 30716.9218606509m²