Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58709 / 88165
↖ ↑ ↗
← S 52.651396°
W 18.750915°		 ← 185.25 m → S 52.651396°
W 18.748169°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
S 52.653062°
W 18.750915°		 ← 185.24 m →
34 321 m²		 S 52.653062°
W 18.748169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447917938232422 y=0.672649383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447917938232422 × 217)
    floor (0.447917938232422 × 131072)
    floor (58709.5)     		tx = 58709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672649383544922 × 217)
    floor (0.672649383544922 × 131072)
    floor (88165.5)     		ty = 88165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58709 / 88165 ti = "17/58709/88165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58709/88165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58709 ÷ 217
    58709 ÷ 131072     		x = 0.447914123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88165 ÷ 217
    88165 ÷ 131072     		y = 0.672645568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447914123535156 × 2 - 1) × π
    -0.104171752929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32726521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672645568847656 × 2 - 1) × π
    -0.345291137695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.08476410150225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32726521} λ = -0.32726521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08476410150225))-π/2
    2×atan(0.337981505820928)-π/2
    2×0.325928059970159-π/2
    0.651856119940318-1.57079632675     		φ = -0.91894021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32726521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.750915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91894021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.651396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58709 KachelY 88165 -0.32726521 -0.91894021 -18.750915 -52.651396
    Oben rechts KachelX + 1 58710 KachelY 88165 -0.32721728 -0.91894021 -18.748169 -52.651396
    Unten links KachelX 58709 KachelY + 1 88166 -0.32726521 -0.91896929 -18.750915 -52.653062
    Unten rechts KachelX + 1 58710 KachelY + 1 88166 -0.32721728 -0.91896929 -18.748169 -52.653062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91894021--0.91896929) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dl = 185.268680000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91894021--0.91896929) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dr = 185.268680000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32726521--0.32721728) × cos(-0.91894021) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606662986911636 × 6371000     		do = 185.251841209099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32726521--0.32721728) × cos(-0.91896929) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606639869243592 × 6371000     		du = 185.244781951057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91894021)-sin(-0.91896929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606662986911636-0.606639869243592)×R²
    abs(-0.32721728--0.32726521)×2.31176680438594e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31176680438594e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31176680438594e-05×40589641000000     		ar = 34320.7101611648m²