Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58708 / 89434
↖ ↑ ↗
← S 54.715102°
W 18.753662°		 ← 176.43 m → S 54.715102°
W 18.750915°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
S 54.716688°
W 18.753662°		 ← 176.42 m →
31 123 m²		 S 54.716688°
W 18.750915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447910308837891 y=0.682331085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447910308837891 × 217)
    floor (0.447910308837891 × 131072)
    floor (58708.5)     		tx = 58708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682331085205078 × 217)
    floor (0.682331085205078 × 131072)
    floor (89434.5)     		ty = 89434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58708 / 89434 ti = "17/58708/89434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58708/89434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58708 ÷ 217
    58708 ÷ 131072     		x = 0.447906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89434 ÷ 217
    89434 ÷ 131072     		y = 0.682327270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682327270507812 × 2 - 1) × π
    -0.364654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1455960271201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32731315} λ = -0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1455960271201))-π/2
    2×atan(0.31803430421818)-π/2
    2×0.307918822672696-π/2
    0.615837645345392-1.57079632675     		φ = -0.95495868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95495868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.715102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58708 KachelY 89434 -0.32731315 -0.95495868 -18.753662 -54.715102
    Oben rechts KachelX + 1 58709 KachelY 89434 -0.32726521 -0.95495868 -18.750915 -54.715102
    Unten links KachelX 58708 KachelY + 1 89435 -0.32731315 -0.95498637 -18.753662 -54.716688
    Unten rechts KachelX + 1 58709 KachelY + 1 89435 -0.32726521 -0.95498637 -18.750915 -54.716688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95495868--0.95498637) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95495868--0.95498637) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(-0.95495868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577642487453259 × 6371000     		do = 176.426884185941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(-0.95498637) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57761988416523 × 6371000     		du = 176.419980559968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95495868)-sin(-0.95498637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577642487453259-0.57761988416523)×R²
    abs(-0.32726521--0.32731315)×2.2603288028944e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2603288028944e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2603288028944e-05×40589641000000     		ar = 31123.3852129959m²