Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58708 / 88252
↖ ↑ ↗
← S 52.796119°
W 18.753662°		 ← 184.68 m → S 52.796119°
W 18.750915°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
S 52.797780°
W 18.753662°		 ← 184.67 m →
34 096 m²		 S 52.797780°
W 18.750915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447910308837891 y=0.673313140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447910308837891 × 217)
    floor (0.447910308837891 × 131072)
    floor (58708.5)     		tx = 58708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673313140869141 × 217)
    floor (0.673313140869141 × 131072)
    floor (88252.5)     		ty = 88252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58708 / 88252 ti = "17/58708/88252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58708/88252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58708 ÷ 217
    58708 ÷ 131072     		x = 0.447906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88252 ÷ 217
    88252 ÷ 131072     		y = 0.673309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673309326171875 × 2 - 1) × π
    -0.34661865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0889346117692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32731315} λ = -0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0889346117692))-π/2
    2×atan(0.336574885681527)-π/2
    2×0.324665108944935-π/2
    0.649330217889871-1.57079632675     		φ = -0.92146611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92146611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.796119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58708 KachelY 88252 -0.32731315 -0.92146611 -18.753662 -52.796119
    Oben rechts KachelX + 1 58709 KachelY 88252 -0.32726521 -0.92146611 -18.750915 -52.796119
    Unten links KachelX 58708 KachelY + 1 88253 -0.32731315 -0.92149509 -18.753662 -52.797780
    Unten rechts KachelX + 1 58709 KachelY + 1 88253 -0.32726521 -0.92149509 -18.750915 -52.797780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92146611--0.92149509) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92146611--0.92149509) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(-0.92146611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60465306647159 × 6371000     		do = 184.676610270447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32731315--0.32726521) × cos(-0.92149509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604629983967521 × 6371000     		du = 184.669560279561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92146611)-sin(-0.92149509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60465306647159-0.604629983967521)×R²
    abs(-0.32726521--0.32731315)×2.30825040691274e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30825040691274e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30825040691274e-05×40589641000000     		ar = 34096.4835201662m²